IV Исследование равномерного приближения функций
4.1 Убедиться в справедливости условий чебышевского интерполирования
Метод: Чебышевское интерполирование. Сетка: Чебышевская. Порядок полинома: 5. Интервал: [-1;1]. Функция: Y=Sin(X)/X.
Уклонение в узлах:
|
Координата |
Уклонение |
|
-0.974927 |
-4.712965*10-6 |
|
-0.781831 |
4.712965*10-6 |
|
-0.433883 |
-4.712965*10-6 |
|
6.123233*10-17 |
4.712965*10-6 |
|
0.433883 |
-4.712965*10-6 |
|
0.781831 |
4.712965*10-6 |
|
0.974927 |
-4.712965*10-6 |
Вывод: функция уклонения в узлах меняет знак, но по модулю остается такой же, следовательно, условие Чебышевского интерполирования выполняется.
4.2 Решить задачу наилучшего равномерного приближения для функций, использованных в эксперименте по п. 3.1.; установить возможность построения полинома максимально высокого (в пределах, допускаемых программой) порядка; сравнить точность решений задач приближения, полученных в п.3.1 и 4.2., по равномерному и среднеквадратичному критериям.
Метод: Чебышевское интерполирование. Сетка: Равномерная. Интервал: [0;1]. Монотонная функция: Y=Sin(X)/X.
|
Порядок Полинома |
Модуль наибольшего уклонения |
Среднеквадратичное уклонение |
|
2 |
5.8401*10-4 |
3.701344*10-4 |
|
3 |
7.500134*10-5 |
4.517272*10-5 |
|
4 |
1.882583*10-6 |
9.126068*10-7 |
|
16 |
4.329869*10-15 |
7.154898*10-16 |
Метод: Чебышевское интерполирование. Сетка: Равномерная. Интервал: [-1;1]. Функция, имеющая экстремум: Y=|X|.
|
Порядок Полинома |
Модуль наибольшего уклонения |
Среднеквадратичное уклонение |
|
2 |
0.249999 |
0.09154 |
|
3 |
0.125 |
0.085543 |
|
4 |
0.140625 |
0.041114 |
|
16 |
1.2318092 |
0.273897 |
Вывод: Оказалось возможным интерполировать функции полиномом 16 порядка, благодаря этому увеличивается точность интерполирования. При интерполировании монотонной функции методы Чебышевского интерполирования и средних квадратов дают примерно одинаковые значения МУ и СКУ. При использовании Чебышевского интерполирования функции, имеющий экстремум, модуль наибольшего уклонения самый маленький при порядке полинома равном 3, а среднеквадратичное уклонение оказалось наименьшим при порядке полинома равном 4. Для функции, имеющей экстремум, метод средних квадратов даёт значение СКУ меньшее, чем метод Чебышевского интерполирования. При 3 порядке полинома значение МУ при Чебышевском интерполировании меньше, чем при методе средних квадратов. При 4 порядке полинома значение МУ, при использовании метода средних квадратов, меньше, чем при использовании Чебышевского интерполирования.
4.3 Установить степень близости решений, полученных в п. 4.2., с решениями задачи интерполирования на равномерной и чебышевской сетках (при одинаковых интервалах приближения и порядках приближающих полиномов).
Монотонная функция: Y=Sin(X)/X. Интервал: [0;1].
|
|
Модуль наибольшего уклонения |
Среднеквадратичное уклонение | |||||
|
Порядок |
Чебышевское интерп. |
Неопред. коэф-ов |
Чебышевское интерп. |
Неопред. коэф-ов | |||
|
Чеб. сетка |
Равн. сетка |
Чеб. сетка |
Равн. сетка |
- |
- | ||
|
2 |
7.44*10-4 |
5.84*10-4 |
5.78*10-4 |
8.76*10-4 |
3.701*10-4 |
5.566*10-4 | |
|
4 |
1.85*10-6 |
1.88*10-6 |
1.26*10-6 |
2.29*10-6 |
9.126*10-7 |
1.080*10-6 | |
|
6 |
2.30*10-9 |
3.42*10-9 |
1.42*10-9 |
3.99*10-9 |
1.288*10-9 |
1.482*10-9 | |
Функция, имеющая экстремум: Y=|X|. Интервал: [-1;1].
|
|
Модуль наибольшего уклонения |
Среднеквадратичное уклонение | |||||
|
Порядок |
Чебышевское интерп. |
Неопред. коэф-ов |
Чебышевское интерп. |
Неопред. коэф-ов | |||
|
Чеб. сетка |
Равн. сетка |
Чеб. сетка |
Равн. сетка |
- |
- | ||
|
2 |
0.2706 |
0.2499 |
0.2165 |
0.25 |
0.0915 |
0.1826 | |
|
4 |
0.1725 |
0.1406 |
0.1231 |
0.1472 |
0.0411 |
0.0929 | |
|
6 |
0.1274 |
0.0977 |
0.0865 |
0.1819 |
0.0269 |
0.0830 | |
Вывод: 1) для монотонной функции: при Чебышевском интерполировании на Чебышевской сетке МНУ оказался того же порядка, но немного больше, чем при методе неопределённых коэффициентов на Чебышевской сетке; при Чебышевском интерполировании на равномерной сетке МНУ оказался того же порядка, но немного меньше, чем при методе неопределённых коэффициентов на равномерной сетке. СКУ при Чебышевском интерполировании того же порядка, но немного меньше, чем при методе неопределённых коэффициентов. 2) Для функции, имеющей экстремум: всё сказанное выше справедливо.
4.4 Исследовать устойчивость решения задачи равномерного приближения к ошибкам исходных данных. Критерием может служить отличие величин погрешности аппроксимации (среднеквадратичной и равномерной), полученных при наличии и отсутствии возмущений.
Метод: Чебышевское интерполирование. Сетка: Равномерная. Интервал: [-1;1]. Монотонная функция: Y=Sin(X)/X. Порядок полинома: 3.
|
Возмущение, % |
Равномерная погрешность (модуль уклонения) |
Среднеквадратичное уклонение |
|
0 |
0.001251 |
7.701236*10-4 |
|
10 |
0.0786027 |
0.052556 |
|
20 |
0.134363 |
0.087572 |
|
30 |
0.203333 |
0.13965 |
|
40 |
0.376052 |
0.23377 |
|
50 |
0.474956 |
0.402573 |
|
70 |
0.664665 |
0.3935070 |
|
100 |
0.686213 |
0.420227 |
Вывод: при увеличении возмущения равномерная погрешность постепенно растёт (почти линейно). СКУ при увеличении возмущения также растёт, но наибольший рост СКУ демонстрирует при увеличении возмущения от 0% до 10% (примерно в 70 раз), а затем рост СКУ становится более плавным.