Отчет по лабораторной работе №2 «Интерполяция»

Студент: Майков А. А.

Институт физики, нанотехнологий и телекоммуникаций, гр. 2097/2

СПбГПУ

Санкт-Петербург

2013 Год

II. Исследование интерполирования функций.

2.1 Провести сравнение качества построения интерполяционного полинома различными методами (критерий - уклонение в узлах интерполяционной сетки). При построении полином методом неопределенных коэффициентов зафиксировать изменения значений числа обусловленности интерполяционной матрицы от порядка полинома.

Сетка: Равномерная. Функция: Y=Sin(x)/x. Интервал X: [-1;1]. Порядок полинома: N=5. Возмущение: 0%.

		Лагранжа		Ньютона		Н.К.
№	X	Eps	Eps		Eps
1	-1.0	0	0		0
2	-0.6	0	0		0
3	-0.2	1.11*10-16	-2.2*10-16		0
4	0.2	0	-1.1*10-15		0
5	0.6	0	-2.2*10-15		0
6	1.0	0	-5.8*10-15		0

Метод: Неопределенных коэффициентов. Сетка: Равномерная. Функция: Y=sin(x)/x. Интервал X: [-1;1]. Возмущение: 0%.

	N=2			N=4			N=5			N=6			N=8			N=10
№	X	Eps	X		Eps	X		Eps	X		Eps	X		Eps	X		Eps
1	-1.0	0	-1.0		0	-1.0		0	-1.0		0	-1		0	--1		0
2	0	0	-0.5		0	-0.6		0	-0.67		0	-0.75		0	-0.8		0
3	1.0	0	0		0	-0.2		0	-033		0	-0.5		0	-0.6		0
4			0.5		0	0.2		0	0		0	-0.25		0	-0.4		0
5			1.0		0	0.6		0	0.33		0	0		0	-0.2		0
6						1.0		0	0.67		0	0.25		0	0		0
7									1		0	0.5		0	0.2		0
8												0.75		0	0.4		0
9												1		0	0.6		0
10															0.8		0
11															1.0		0
Ч.О.	2.0			38.93			77.83			336.94			3184.66			29744.84

Вывод: Качество построения интерполяционного полинома практический не зависит от методов рассмотренных в задании (во всех случаях уклонение в узлах практически равно 0). При использовании метода неопределенных коэффициентов значение числа обусловленности матрицы растет с увеличением порядка полинома (матрица обусловлена хуже).

2.2 Провести исследование погрешности интерполирования для 2-3 модельных функций, отличающихся свойствами гладкости и монотонности на интервале интерполирования; выявить зависимость погрешности от порядка интерполяционного полинома, от величины интервала, от типа сетки.

Y=Sin(X)/X на интервалах: [-0.1;0.1], [-0.2;0.2], [-0.5;0.5] – Гладкая и не монотонная функция

Y=|X| на интервалах: [-0.1;0.1], [-0.2;0.2], [-0.5;0.5] – Не гладкая и не монотонная функция

Y=Sin(X)*Cos(X) на интервалах: [-0.1;0.1],[-0.2;0.2],[-0.5;0.5] – Гладкая и монотонная функция

Равномерная cетка. Метод Ньютона.
Функция	Y=Sin(X)/X			Y=|X|			Y=Sin(X)*Cos(X)
Интервал	[-0.1;0.1]			[-0.1;0.1]			[-0.1;0.1]
Порядок	МУ	СКУ	МУ		СКУ	МУ		СКУ
2	2.082*10-7	1.328*10-7	0.025		0.0183	2.553*10-4		1.835*10-4
4	1.879*10-11	8.939*10-12	0.0147		0.0093	1.510*10-7		7.994*10-8
6	6.217*10-15	1.453*10-15	0.0182		0.0083	5.540*10-11		2.263*10-11
Интервал	[-0.2;0.2]			[-0.2;0.2]			[-0.2;02]
6	2.771*10-13	1.067*10-13	0.0364		0.0166	7.064*10-9		2.885*10-9
Интервал	[-0.5;0.5]			[-0.5;0.5]			[-0.5;0.5]
6	4.209*10-10	1.625*10-10	0.0910		0.0415	4.195*10-6		1.714*10-6
Чебышевская cетка. Метод Ньютона.
Интервал	[-0.5;0.5]			[-0.5;0.5]			[-0.5;0.5]
6	1.671*10-10	8.006*10-11	0.0432		0.0868	1.511*10-6		1.009*10-6

Вывод: Погрешность интерполирования гладкой и не монотонной функции Y=Sin(X)/X меньше, чем функций Y=|X| и Y=Sin(X)*Cos(X). Погрешность ф-ии y=|x| с увеличением порядка растет медленее, чем у остальных ф-ий, у ф-ии y=sin(x)/x погр. при увеличении порядка возрастает на несколько порядков(на ч порядка при увел. порядка полинома на 2), ф-ия y=sin(x)*cos(x) ведет себя аналогично с предыдущей, но возрастание медленнее(на 3 порядка, в отличие от 4). Погрешность интерполирования: снижается при увеличении порядка интерполяционного полинома, увеличивается при увеличении интервала интерполирования. Погрешность интерполирования меньше при использовании Чебышевской сетки, чем при использовании равномерной сетки.

2.3 Исследовать устойчивость решения задачи интерполирования к погрешности исходных данных (значений функции в узлах сетки); зафиксировать значения уклонений в узлах, значения погрешности интерполирования (в равномерной метрике) на чебышевской и равномерной сетках; сравнить эти данные с результатами аналогичных экспериментов при отсутствии возмущения исходных данных.

Метод Неопределённых коэффициентов. Функция Y=Sin(X)/X. Интервал: [-1;1]. N=6. Чебышевская сетка.

Возм.	0%		1%.			5%.			10%.
X	Eps	СКУ	Eps	СКУ	Eps		СКУ	Eps		СКУ
-0.97	0	2*10-8 Мну 4.2*10-8	-0.00796	0.0089 Мну 0.01	0.011569		0.03002 Мну 0.05	-0.066697		0.0585 Мну 0.09
-0.78	0		0.001677		-0.04142			0.04392
-0.43	0		-0.00807		0.013752			-0.094674
6*10-17	0		0.004912		-0.03402			-0.05924
0.43	0		-0.00536		-0.04076			0.003664
0.78	0		0.001829		-0.04230			-0.066717
0.97	-1*10-16		0.0		1.1*10-16			0.0
Возм.	15%		40%.			100%.
X	Eps	СКУ	Eps	СКУ	Eps		СКУ
-0.97	-0.1221	0.09737 Мну 0.1	0.61234	0.1924 Мну 0.2	0.021286		0.652966 Мну 0.89
-0.78	-0.1289		-0.18538		0.032601
-0.43	0.0342		0.100045		0.290772
6*10-17	0.0065		0.104478		0.013432
0.43	-0.1444		0.150659		0.412613
0.78	-0.1197		0.1132		0.023097
0.97	-2*10-16		-4*10-16		1.7*10-15

Равномерная сетка.

Возм.	0%		1%.			5%.				10%.
X	Eps	СКУ	Eps	СКУ	Eps		СКУ		Eps		СКУ
-1.0	0	4.1*10-8 Мну 1*10-7	-0.00789	0.0089 Мну 0.01	0.01128		0.020867 Мну 0.07		-0.07295		0.07169 Мну 0.17
-0.67	0		0.001726		0.003756				0.00968
-0.33	0		-0.00817		0.011105				-0.08907
0	0		0.004912		0.011338				0.02094
0.33	0		-0.00543		-0.03497				-0.06355
0.67	0		0.001883		-0.02477				-0.04928
1.0	0		0.0		-1*10-16				-2*10-16
Возм.	15%		40%.			100%.
X	Eps	СКУ	Eps	СКУ	Eps			СКУ
-1.0	-0.0733	0.09654 Мну 0.28	0.146913	0.1881 Мну 0.39	0.021286			0.6530 Мну 1.07
-0.67	0.0570		-0.27300		0.032601
-0.33	-0.1045		0.071573		0.290772
0	-0.1253		0.024845		0.013432
0.33	0.0404		-0.26752		0.412613
0.67	0.0387		0.055973		0.023097
1.0	-2*10-16		7.8*10-16		-1.7*10-15

Вывод: В случае Чебышевской и равномерной сеток меняются значения уклонений в узлах. При внесении малого возмущения (1%) СКУ увеличивается сильно: в 2*10⁵ раза, при дальнейшем увеличении возмущения СКУ растет медленнее. Мну также растет, причем на Чебышевской сетке пропорционально СКУ, а на равномерной быстрее, чем СКУ.