Отчет по лабораторной работе №2 «Интерполяция»

Студент: Галл Р.Д.

Институт физики, нанотехнологий и телекоммуникаций, гр. 2097/2

СПбГПУ

Санкт-Петербург

2013 Год

II. Исследование интерполирования функций.

2.1 Провести сравнение качества построения интерполяционного полинома различными методами (критерий - уклонение в узлах интерполяционной сетки). При построении полином методом неопределенных коэффициентов зафиксировать изменения значений числа обусловленности интерполяционной матрицы от порядка полинома.

Сетка: Равномерная. Функция: Y=Sin(x)/x. Интервал X: [-1;1]. Порядок полинома: N=5. Возмущение: 0%.

		Лагранжа		Ньютона		Н.К.
№	X	Eps	Eps		Eps
1	-1.0	0	0		0
2	-0.6	0	0		0
3	-0.2	1.11*10-16	-2.2*10-16		0
4	0.2	0	-1.1*10-15		0
5	0.6	0	-2.2*10-15		0
6	1.0	0	-5.8*10-15		0

Метод: Неопределенных коэффициентов. Сетка: Равномерная. Функция: Y=sin(x)/x. Интервал X: [-1;1]. Возмущение: 0%.

	N=2			N=4			N=5			N=6			N=8			N=10
№	X	Eps	X		Eps	X		Eps	X		Eps	X		Eps	X		Eps
1	-1.0	0	-1.0		0	-1.0		0	-1.0		0	-1		0	--1		0
2	0	0	-0.5		0	-0.6		0	-0.67		0	-0.75		0	-0.8		0
3	1.0	0	0		0	-0.2		0	-033		0	-0.5		0	-0.6		0
4			0.5		0	0.2		0	0		0	-0.25		0	-0.4		0
5			1.0		0	0.6		0	0.33		0	0		0	-0.2		0
6						1.0		0	0.67		0	0.25		0	0		0
7									1		0	0.5		0	0.2		0
8												0.75		0	0.4		0
9												1		0	0.6		0
10															0.8		0
11															1.0		0
Ч.О.	2.0			38.93			77.83			336.94			3184.66			29744.84

Вывод: 1) из эксперимента следует, что наилучшее качество построения интерполяционного полинома достигается при использовании метода неопределенных коэффициентов. 2) При увеличении порядка полинома число обусловленности интерполяционной матрицы растёт, т.е. интерполяционная матрица становится хуже обусловленной.

2.2 Провести исследование погрешности интерполирования для 2-3 модельных функций, отличающихся свойствами гладкости и монотонности на интервале интерполирования; выявить зависимость погрешности от порядка интерполяционного полинома, от величины интервала, от типа сетки.

Y=Sin(X)/X на интервалах: [-0.1;0.1], [-0.2;0.2], [-0.5;0.5] – Гладкая и не монотонная функция

Y=|X| на интервалах: [-0.1;0.1], [-0.2;0.2], [-0.5;0.5] – Не гладкая и не монотонная функция

Y=Sin(X)*Cos(X) на интервалах: [-0.1;0.1],[-0.2;0.2],[-0.5;0.5] – Гладкая и монотонная функция

Равномерная cетка. Метод Ньютона.
Функция	Y=Sin(X)/X			Y=|X|			Y=Sin(X)*Cos(X)
Интервал	[-0.1;0.1]			[-0.1;0.1]			[-0.1;0.1]
Порядок	МУ	СКУ	МУ		СКУ	МУ		СКУ
2	2.082*10-7	1.328*10-7	0.025		0.0183	2.553*10-4		1.835*10-4
4	1.879*10-11	8.939*10-12	0.0147		0.0093	1.510*10-7		7.994*10-8
6	6.217*10-15	1.453*10-15	0.0182		0.0083	5.540*10-11		2.263*10-11
Интервал	[-0.2;0.2]			[-0.2;0.2]			[-0.2;02]
6	2.771*10-13	1.067*10-13	0.0364		0.0166	7.064*10-9		2.885*10-9
Интервал	[-0.5;0.5]			[-0.5;0.5]			[-0.5;0.5]
6	4.209*10-10	1.625*10-10	0.0910		0.0415	4.195*10-6		1.714*10-6
Чебышевская cетка. Метод Ньютона.
Интервал	[-0.5;0.5]			[-0.5;0.5]			[-0.5;0.5]
6	1.671*10-10	8.006*10-11	0.0432		0.0868	1.511*10-6		1.009*10-6

Вывод: 1) Погрешность интерполирования гладкой и не монотонной функции Y=Sin(X)/X меньше, чем функций Y=|X| и Y=Sin(X)*Cos(X). 2) При увеличении порядка интерполяционного полинома погрешность интерполирования снижается. 3) При увеличении интервала интерполирования погрешность увеличивается. 4) При использовании Чебышевской сетки погрешность интерполирования меньше, чем при использовании равномерной сетки.

2.3 Исследовать устойчивость решения задачи интерполирования к погрешности исходных данных (значений функции в узлах сетки); зафиксировать значения уклонений в узлах, значения погрешности интерполирования (в равномерной метрике) на чебышевской и равномерной сетках; сравнить эти данные с результатами аналогичных экспериментов при отсутствии возмущения исходных данных.

Метод Неопределённых коэффициентов. Функция Y=Sin(X)/X. Интервал: [-1;1]. N=6. Чебышевская сетка.

Возм.	0%		1%.			5%.			10%.
X	Eps	СКУ	Eps	СКУ	Eps		СКУ	Eps		СКУ
-0.97	0	2*10-8	-0.00796	0.0089	0.011569		0.03002	-0.066697		0.0585
-0.78	0		0.001677		-0.04142			0.04392
-0.43	0		-0.00807		0.013752			-0.094674
6*10-17	0		0.004912		-0.03402			-0.05924
0.43	0		-0.00536		-0.04076			0.003664
0.78	0		0.001829		-0.04230			-0.066717
0.97	-1*10-16		0.0		1.1*10-16			0.0
Возм.	15%		40%.			100%.
X	Eps	СКУ	Eps	СКУ	Eps		СКУ
-0.97	-0.1221	0.09737	0.61234	0.1924	0.021286		0.652966
-0.78	-0.1289		-0.18538		0.032601
-0.43	0.0342		0.100045		0.290772
6*10-17	0.0065		0.104478		0.013432
0.43	-0.1444		0.150659		0.412613
0.78	-0.1197		0.1132		0.023097
0.97	-2*10-16		-4*10-16		1.7*10-15

Равномерная сетка.

Возм.	0%		1%.			5%.				10%.
X	Eps	СКУ	Eps	СКУ	Eps		СКУ		Eps		СКУ
-1.0	0	4.1*10-8	-0.00789	0.0089	0.01128		0.020867		-0.07295		0.07169
-0.67	0		0.001726		0.003756				0.00968
-0.33	0		-0.00817		0.011105				-0.08907
0	0		0.004912		0.011338				0.02094
0.33	0		-0.00543		-0.03497				-0.06355
0.67	0		0.001883		-0.02477				-0.04928
1.0	0		0.0		-1*10-16				-2*10-16
Возм.	15%		40%.			100%.
X	Eps	СКУ	Eps	СКУ	Eps			СКУ
-1.0	-0.0733	0.09654	0.146913	0.1881	0.021286			0.6530
-0.67	0.0570		-0.27300		0.032601
-0.33	-0.1045		0.071573		0.290772
0	-0.1253		0.024845		0.013432
0.33	0.0404		-0.26752		0.412613
0.67	0.0387		0.055973		0.023097
1.0	-2*10-16		7.8*10-16		-1.7*10-15

Вывод: при внесении возмущений и в случае Чебышевской, и в случае равномерной сеток меняются значения уклонений в узлах, и при увеличении возмущения растёт погрешность интерполирования. При внесении малого возмущения (1%) СКУ увеличивается сильно: в 2*10⁵ раза, при дальнейшем увеличении возмущения СКУ растет медленнее.