Геометрическое построение векторного произведения.

1) Если ненулевые векторы a и b ортогональны, то для геометрического построения вектора a×b достаточно совместить их начала и в плоскости, перпендикулярной вектору b, повернуть вектор а на 90 вокруг вектора b по ходу часовой стрелки, а затем умножить повернутый вектор на b.

2) Чтобы геометрически построить векторное произведение векторов a и b надо, совместив их начала, спроектировать вектор анна плоскость , перпендикулярную вектору b. Полученную проекцию в плоскости, перпендикулярной вектору b, повернуть вокруг вектора b на 90 по ходу часовой стрелки, а затем умножить повернутый вектор на b.

Алгебраические свойства векторного произведения.

1. a×b=-(b×a) – антикоммутативность;

2. λ(a×b)=λa×b=a×λb сочетательное (ассоциативное) относительно числового множителя;

3. a×(b+с)=a×b+a×с -распределительное (дистрибутивное) относительно суммы векторов;

4. a×а=0 (a×а=|а||а|sin 0=0);

Доказательства.

1) Пусть с=a×b, d=b×a. Если векторы a и b коллинеарны, то с=d=0.

Если a и b не коллинеарны, то векторы с и d имеют одинаковую длину (|а||b|sinφ) и коллинеарны (т.к. оба ортогональны плоскости, определяемой векторами a и b). Но тогда либо с=d, либо с=-d. Если бы с=d, то обе тройки abc и bac были бы правыми, но они противоположной ориентации. Поэтому c=-d. ч.т.д.

2) Положим с=λ(a×b), d=λa×b. Исключим тривиальные случаи, когда вектор а коллинеарен вектору b или когда =0. в этом случае с=d=0.

Обозначим =,=. По определению длины векторного произведения и произведения вектора на число можно утверждать, что

с=absin  d=absin  (10)

Возможны 2 случая 1) = (когда >0 и векторы а и а направлены в одну сторону).

2) =- (когда <0 и векторы а и а направлены в одну сторону).

В обоих случаях sin =sin  и в силу (10) с=d, т.е. векторы c и d имеют одинаковую длину.

Далее, очевидно, что векторы c и d коллинеарны, т.к. ортогональность к плоскости, определяемой векторами а и b, означает ортогональность и к плоскости, определяемой векторами а и b.

Для доказательства равенства векторов c и d проверим, что эти векторы имеют одинаковое направление. Пусть >0 (<0), тогда векторы а и а одинаково направлены (противоположно направлены), и, следовательно, векторы a×b и λa×b также одинаково (противоположно) направлены, а это означает, что векторы d=λ(a×b) и с=λa×b всегда одинаково направлены. ч.т.д.

3) – без доказательства.

4) – следует из того, что вектор а коллинеарен самому себе.

Выражение векторного произведения через координаты векторов.

Теорема 7. Если два вектора определены своими декартовыми прямоугольными координатами а={x₁,y₁,z₁}, b={x₂,y₂,z₂}, то их векторное произведение имеет вид:

a×b={y₁z₂- z₁y₂,z₁x₂-x₁z₂,x₁y₂-y₁x₂} (11)

a×b=(11)

Доказательство.

В частности, i×i=j×j=k×k=0.

i×i=j×j=k×k=0.

i×j=k i×k=-j j×i=-k j×k=i

k×i=j k×j=-i

a×b=(x₁i+y₁j+z₁k)×(x₂i+y₂j+z₂k)=x₁x₂i×i+x₁y₂i×j+x₁z₂i×k+y₁x₂j×i+y₁y₂j×j+y₁z₂j×k+z₁x₂k×i+z₁y₂k×j+z₁z₂j×j=0+x₁y₂k+x₁z₂(-j)+y₁x₂(-k)+0+y₁z₂i+z₁x₂j+z₁y₂ (-i)+0=

=(y₁z₂-z₁y₂)i - (x₁z₂- z₁x₂)j+(x₁y₂ - y₁x₂)k==a×b

Если последний определитель равен 0, то либо один из векторов равен 0, либо векторы коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональны.

Пример. Найти векторное произведение векторов а=(1;3;4), b=(2;1;0)

a×b=-4i-8j-5k.

Следствие. Если два вектора а={x₁,y₁,z₁}, b={x₂,y₂,z₂} коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т.е. .

Доказательство. Из равенства нулю векторного произведения следует:

y₁z₂=z₁y₂, x₁z₂=z₁x₂, x₁y₂=y₁x₂, а это эквивалентно доказываемым пропорциям.