10

Понятие базиса.

Определение. Три линейно независимых вектора ,иобразуют в пространствебазис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов,и, т.е. если для векторанайдутся такие вещественные числа, , , что справедливо равенство: =++ (1)

Определение. Два лежащих в плоскости  линейно независимых вектора иобразуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторови, т.е. если для любого лежащего в плоскости вектора найдутся такие вещественные числа и , что справедливо равенство : =+ (2)

Утверждения.

1) любая тройка некомпланарных векторов ,иобразует базис впространстве;

2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов иобразует базис на этой плоскости.

В дальнейшем для определенности будем рассматривать базис в пространстве.

Пусть ,и- произвольный базис в пространстве (т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов). Тогда равенство=++ называется разложением вектора по базису,,, а числа , ,  - координаты вектора относительно базиса ,,.

Покажем единственность разложения вектора по базису ,,.Допустим противное, что наряду с разложением (1), справедливо еще и другое разложение по этому же базису: =++ (3)

Вычитая из (1) из (3) получаем:

(-)+(-)+(-)=0

В силу линейной независимости базисных векторов ,,последнее соотношение приводит к равенству:-=0, -=0, -=0 или =, =, =.

Теорема. При сложении двух векторов иих координаты (относительно любого базиса, ,)складываются. При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число.

Доказательство. Пусть =₁+₁+₁, =₂+₂+₂. Тогда в силу свойств линейных операций:

+=(₁+₂)+(₁+₂)+(₁+₂),

=(₁)+(₁)+(₁)

В силу единственности разложения по базису ч.т.д.

Проекция вектора на ось.

(Ортогональная) проекция точки на ось – основание перпендикуляра, опущенного из точки на данную ось. (рисунок)

l

Проекцией вектора на осьu называется величина (длина) вектора , проведенного из проекции начала в проекцию конца вектора, взятая со знаком “+”, если направление векторасовпадает с направлением осиu и со знаком “-” в противном случае.

Свойства проекции вектора на ось.

1. Проекция суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) проекций векторов на ось

пр_u()=

2. Постоянный множитель можно выносить за знак проекции:

Угол наклона вектора = к оси u определяется как угол  между двумя выходящими из произвольной точки М лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора =, а другой – направление, совпадающее с направлением оси u. (Рисунок)

На величину угла наклона вектора к осиu не влияют выбор точки М выхода указанных лучей и замена оси u любой другой осью v, имеющей то же направление, что и ось u.

Теорема. Проекция вектора на осьu равна произведению длины на косинус угла φ наклона векторак осиu: .

Доказательство. Обозначим через v ось, проходящую через начало А вектора и имеющую то же направлении, что осьu, и пусть С – проекция В на ось v. Тогда ВАС=, где  - угол наклона вектора = к любой из осей u или v, причем точка С лежит в указанной проецирующей плоскости (т.е. в плоскости, перпендикулярной оси u и проходящей через точку В). (Рисунок)

А₁В₁=АС (А₁В₁–величина вектора оси u, а АС–величина вектора оси v), т.к. оси u и v параллельны и одинаково направлены и отрезки этих осей заключенные между параллельными плоскостями  и , равны. Т.к. по определению , то получаем равенство: =АС (1)

Но величина АС представляет собой проекцию вектора на ось v и

АС==(2)

Сопоставляя 91) и (20, получим ч.т.д.

Аффинные координаты (от лат. affinis – соседний, смежный).

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса , ,и некоторой точкой О, называемой началом координат.

Аффинными координатами любой точки М называются координаты вектора (относительно базиса, ,). Т.к. каждый вектор может быть единственным образом разложен по базису, ,, то каждой точке пространства М однозначно соответствует тройка аффинных координат , , .

Декартова прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы координат, отвечающей тройке взаимно ортогональных единичных базисных векторов.

Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.

Базисные векторы принято обозначать - три взаимно ортогональных единичных вектора.

Любой вектор () можно единственным образом разложить по декартовому базису с коэффициентами а_х, a_y, a_z (X,Y,Z):

.

Коэффициенты а_х, a_y, a_z называются декартовыми прямоугольными координатами вектора в базисе.

Если М – любая точка пространства, то декартовы координаты этой точки совпадают с декартовыми координатами вектора .

Координатами вектора называют координаты его конечной точки. (на рис. коорд. вектора=на плоскости={х,у}, в пространстве -={x,y,z}).

Теорема. Декартовы прямоугольные координаты X,Y,Z вектора равны проекциям этого вектора на осиOx, Oy, Oz.

(Доказательство на стр. 61)