36

Одна и та же по наименованию величина в одних условиях может быть постоянной, в других – переменной. Например, объем комнаты – величина постоянная, а объем резинового шарика во время наполнения его газом – переменная величина.

Переменная величина является отвлеченной или числовой переменной. Ее обозначают каким-либо символом (буквой), которому приписывают числовые значения.

Переменная считается заданной, если указано множество Х значений, которые она может принять.

Постоянную величину удобно рассматривать как частный случай переменной; он отвечает предположению, что множество Х состоит из одного элемента.

Определение функции.

Зависимая-независимая переменная…

Множество Х называется множеством задания функции, множество Y - множеством изменения функции.

Примеры. …

1) Функция Дирихле, 2) y=sgn x=(signum) X=(-;+),Y={-1,0,1}

3) у=[х] – целая часть от числа. у={x} – дробная часть числа.

• Пусть дано отображение , и. Тогдасуже́нием функции F на M называется функция , определяемая равенством

.

Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

• Пусть . Тогдао́бразом множества M называется подмножество Y, определяемое равенством

.

Множество называетсяобразом отображения и обозначается .

Пусть f: X→Y. Если х₀X, то соответствующий ему элемент у₀=f(x₀)Y называется образом х₀ (при отображении f).

Совокупность всех элементов хX, образом которых является данный элемент у₀В, называется прообразом (полным прообразом) элемента у₀ (и обозначается f^-1(y₀))

• Пусть задано отображение ,иy = F(x). Тогда x называется проо́бразом y, а y называется о́бразом x. Согласно определению отображения, каждый элемент должен иметь ровно один образ, но элементможет не иметь прообразов либо иметь один или несколько.

  • Например, пусть дана функция , гдеF(x) = x². Тогда

y = − 1 не имеет прообразов;

y = 0 имеет единственный прообраз x = 0;

y = 1 имеет два прообраза: x₁ = 1 и x₂ = − 1.

• Пусть задано отображение , и. Тогда множествоназываетсяпо́лным проо́бразом элемента y. Полный прообраз обозначается F ^{- 1}(y).

  • Например, пусть , иF(x) = sinx. Тогда

.

• Пусть . Тогдапроо́бразом множества N называется подмножество X, определяемое равенством

.

• Например, пусть , иF(x) = cosx. Тогда

,

.

Свойства прообразов и образов

• ;

• ;

• ;

• . Заметим отсутствие равенства в этом случае.

Обратная функция.

Определение. Пусть функция f:A→B.

1) Если для любых двух различных элементов х₁ и х₂ из А их образы у₁=f(x₁) и у₂=f(x₂) также различны,

х₁≠х₂ f(x₁)≠f(x₂) (f(x₁)=f(x₂) x₁=x₂).то отображение f называется инъекцией.

Отображение называетсяинъекцией (или вложением, или отображением в Y), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y. Т.е. если х₁х₂f(x₁)f(x₂).

Формально это значит, что если два образа совпадают, то совпадают и прообразы (). Инъективность является необходимым условиембиективности (достаточно вместе с сюръективностью).

(Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, т.е. инъективно, если существуеттакое, что.)

Примеры

1. —инъективно.

2. —инъективно.

3. —не является инъективным (F( - 2) = F(2) = 4).

2) Отображение называетсясюръективным (или сюръекцией, или отображением на Y), если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X, т. е. .

Т.е. если f(X)=Y или такое, чтоy=f(x), то отображение f действует на Y (отображение «на»).Такое отображение также называется сюръекцией.

В общем случае, т.е. когда f(X)Y, говорят, что f есть отображение X «в» Y.

Эквивалентные определения

Следующие свойства отображения эквивалентны:

1. F сюръективно

2. каждый элемент множества Y имеет хотя бы один прообраз во множестве X при отображении F.

3. образ множества X при отображении F(X) совпадает с Y

4. F имеет правое обратное отображение, т.е. такое отображение , чтоF(G(y)) = y для любого .

Примеры

1. —сюръективно.

2. —сюръективно.

3. —не является сюръективным.

Отображение f которое одновременно является инъекцией и сюръекцией, называется биекцией или взаимно однозначным соответствием между А и В.

В этом случае множества А и В находятся во взаимно однозначном соответствии.

Функция называетсябиекцией (и обозначается ), если она:

1. Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,

• .