Глава 1. Первообразная и неопределённый интеграл

1.1. Определение первообразной функции

Поставим задачу: требуется найти функцию такую, что.

Решение этой задачи очевидно: функция есть искомая функция.

Решение не единственно, поскольку ,,и т.д.

Данная задача – задача восстановления функции по её производной.

Функция –первообразная функция (или первообразная) для функции . Любая функция из множества, где- произвольная постоянная, тоже является первообразной для функции.

Введём определение первообразной функции.

Определение 1.1. Пусть на промежутке определены функциии, и во всех точках этого промежутка имеет место равенство

(1.1)

Тогда говорят, что функция естьпервообразная функция, или просто первообразная функции на промежутке.

Примеры 1.1.

1. Функция - первообразная функциина промежутке, посколькуво всех точках числовой оси.

2. Функция - первообразная функциина промежутке, посколькуво всех точках этого промежутка.

3. Функция - первообразная функциина интервале, посколькувсюду на интервале.

так,

есть первообразная функции

есть производная функции

2. Проблемы, связанные с определением первообразной

Перечислим три основные проблемы, связанные с определением первообразной.

1. Проблема существование первообразной:

какие функции имеют первообразную?

2. Проблема единственности первообразной:

если первообразная существует, единственна она или нет?

3. Проблема нахождения первообразной:

если первообразная данной функции существует, то как её найти?

2. Проблема единственности первообразной

Ответ на вопрос о единственности первообразной несложен. Напомним, что задача, поставленная в п. 1.1, решается неоднозначно: функция имеет бесконечное множествопервообразных функций. Здесь- произвольная постоянная на всей числовой прямой функции.

В общем случае, если - первообразная функцияна промежутке, то любая функция из множества, где- произвольная постоянная на промежуткефункция (или просто постоянная), тоже является первообразной функциина этом промежутке, поскольку.

Итак,

–первообразная функции

–первообразная функции ,

Другими словами, если данная функция имеет первообразную, то фактически эта функция имеет бесконечно много «однотипных» первообразных функций, графики которых могут быть построены с помощью одного шаблона.

Возникает вопрос: может ли функция иметь первообразную, не входящую в бесконечное множествоеё первообразных? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.

Теорема 1.1. («Единственность» первообразной). Если –

одна из первообразных функций для функции на промежутке, то любая первообразнаяфункциина промежуткеимеет вид, где- некоторая постоянная на промежуткефункция.

Доказательство. Введём функцию Функция дифференцируема на промежуткекак разность двух дифференцируемых функций, причём, всюду на

Тогда в силу следствия из теоремы Лагранжа функция постоянна на промежутке, т.е., или, что и требовалось доказать.

Итак, если - первообразная функциина промежутке, то множество всех её первообразных совпадает с множеством, где- произвольная постоянная на промежуткефункция.

Итак, первообразная данной функции на данном промежутке единственна с точностью до постоянного слагаемого.