16 Расчеты тепловых полей

Расчеты тепловых полей.

Под действием вводимой в металл тепловой энергии различные его участки изменяют температуру. Температура будет меняться в пространстве и во времени. Для ее оценки можно, конечно, взять общее дифференциальное уравнение теплопроводности:

= div(λ grad T) + q_уд , (q_уд – источник теплоты (сток)(объемный), действующий в элементарном объеме, с объемной плотностью мощности (удельной мощностью) Вт/м³)

и, добавив граничные условия, решать его численно для конкретного случая (с помощью, например метода конечных разностей или др.).

В подвижной системе координат это уравнение примет вид:

где = λ / c ρ , м² / с ;  - оператор Лапласа.

Даже на современных машинах такое решение может оказаться весьма длительным, а в некоторых случаях и не возможным, т.к. с, , λ – также зависят от температуры, и зависимость носит сложный (не линейный) характер, в том числе в результате полиморфных превращений, например для титана в интервале температур 1200…1700 ^оС λ  почти в 5 раз. Кроме того , имеющиеся справочные данные справедливы для изотермических условий, т.е. когда температура зафиксирована. В реальных условиях сварки динамика изменения температур высока, появляются поля напряжений и деформаций, и реальные зависимости теплофизических характеристик от температуры отличаются от справочных

Т.о. точность (достоверность) таких расчетов во многом зависят от достоверности вводимых данных. Выполнять такие расчеты долго и дорого. Поэтому для практических расчетов часто используются частные аналитические решения для упрощенных моделей или расчетных схем.

Модели источников теплоты:

- Точечный источник – его объём бесконечно мал, все тепло вводится в одну точку.

- Линейный источник – все тепло равномерно распределено по цилиндру с r = 0, т.е. в линию.

- Плоский источник – равномерно распределенный по некоторой конечной плоскости (например, торец стержня).

- Объёмный источник – равномерно выделяющий тепло в некотором объёме, например при протекании тока в стержне электрода.

- Нормально-круговой распределенный источник на поверхности.

- Мгновенный источник – длительность действия его стремится к «0».

- Непрерывно действующий источник – источник постоянной тепловой мощности действующий достаточно долго.

- Периодически действующий источник

- Неподвижный источник – не перемещающийся источник постоянной мощности v = 0.

- Подвижный источник – v  0.

- Быстродействующий источник – распространение тепла впереди источник отсутствует (им можно пренебречь).

Модели тела (основные):

1. Бесконечное тело.

2. Полубесконечное тело.

3. Плоский слой – учитывается отражение тепла от нижней и верхней границы тела.

4. пластина – тепло не распространяется перпендикулярно поверхностям, а только параллельно им.

5. Стержень – тепло распространяется вдоль стержня равномерно по всему сечению.

В 1951 году Н.Н. Рыкалин опубликовал монографию «Расчет тепловых процессов при сварке», в которой предложил аналитические решения для некоторых расчетных схем из которых (как наиболее часто используемые) можно назвать:

1. Точечный непрерывный источник на поверхности полубесконечного тела.

2. Линейный источник (подвижный, непрерывный) в пластине.

3. Точечный источник на поверхности плоского слоя.

4. Быстродвижущийся источник на поверхности плоского слоя.

5. Плоский источник на торцевой поверхности стержня.

Компьютеров тогда не было и даже калькуляторов, поэтому даже полученные аналитические выражения были весьма трудоемки. Для решения инженерных задач были составлены специальные графики – Номограммы – с помощью которых можно было графически получать решение некоторых сложных функций. (см. Петров, Тумарев)

С появлением вычислительной техники пользование номограммами и таблицами функций стало не удобным. Поэтому В.А. Кархиным были предложены аналитические решения для известных и некоторых новых расчетных схем.

Возьмем для примера:

1.Подвижный точечный источник на полубесконечном теле:

(уравнение для установившегося режима в подвижной системе координат)

Т(x,R,t_∞) = exp(-) exp(-) , где R =

2. Подвижный линейный источник в бесконечной пластине. (например, для лазерной и электроннолучевой сварки с полным проваром)

Т(x,r,t_∞) = , где r = ;

К₀ – модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка,(имеется представление в виде ряда); b – коэф. теплоотдачи с поверхности.

3. Подвижный объёмный источник, распределенный произвольно по толщине бесконечного плоского слоя и нормально в плоскости параллельной поверхности слоя:

где t₀ = R_э²/4a; R_э – эффективный радиус пятна нагрева; q₁() – функция распределения интенсивности источника нагрева по толщине; s – толщина плоского слоя. Так для нормально-кругового закона R_э = .

В данном уравнении отсутствует требование установившегося поля.

(Для повехн. ист.  = 0, т.е. второй интегр. = Q_э ; для линейного распределения по глубине q₁() = 0, т.е. интеграл и весь бесконечный ряд = 0; если внести Q_э под интеграл и задать закон его изменения, можно рассматривать функцию для пульсирующего источника)

4. Кроме того построены зависимости для стержня, для цилиндра, для периодического источника, и др. (См. В.А. Кархин)