0491807_F3EAE_lekcii_po_statistike / 012_динамические_ряды

Тема 12. Анализ рядов динамики

Изучение социальных явлений в течение времени дает возможность проследить и проанализировать имеющиеся тенденции развития, рассчитать соответствующие показатели, выявить сезонные колебания. Верная оценка тех или иных явлений может быть осуществлена лишь при сравнении ее с имевшими место ранее.

Статистическое изучение производится на базе динамических (хронологических, временных) рядов.

Задачи анализа динамического ряда

• расчет основных характеристик ряда;

• выявление периодической и непериодической колеблемости;

• выявление основной тенденции развития ряда при помощи механического сглаживания и аналитического выравнивания;

• корреляция рядов динамики и прогнозирование.

При изучении социально-экономических процессов обычно применяются вес вышеуказанные статистические приемы в комплексе. Следует помнить, что выбор метода всегда подчинен главной задаче исследования и специфике конкретного материала.

Основные понятия

Ряд динамики - это ряд числовых характеристик, показывающих развитие явления в течение времени.

Отдельные числовые характеристики динамического ряда принято называть уровнями ряда. Они бывают начальные, конечные и средние и обозначаются соответственно .

Уровни динамического ряда могут быть выражены в абсолютных, относительных, средних и каких-либо иных показателях (например, показателях вариации, корреляции т.д.).

Например, динамика количества комментариев к записям в блоге

Годы	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
Показатели
Количество комментариев, шт.	150	145	210	230	260	255	270

Таким образом, отдельные показатели количества комментариев являются уровнями, а вся их последовательность с 2002 г. по 2008г. – динамический ряд

Динамические ряды делятся на моментные и периодические.

Например, данные по вкладам в сберегательном банке на конец года (моментный динамический ряд) ; количество произведенной продукции за определенный период времени (периодический ряд)

Одним из важнейших условий правильного построения динамического ряда является сопоставимость, сравнимость отдельных его уровней, рассчитанных по единой методологии.

Необходимо отметить, что динамическое ряды, как правило, должны быть достаточно длинными, т.е. отражать развитие явления за сравнительно длинный период времени развития изучаемого явления. Отдельные уровни ряда динамики могут относится либо к годам, либо к месяцам, либо к иным более мелким или, наоборот, более крупным периодам времени, например, пятилетиям или десятилетиям.

При сравнении динамических рядов, относящихся к разным временным интервалам, их необходимо привести к одному основанию, т.е. выбрать уровень (год), и этот уровень приравнять к 100 %. Вообще для сопоставимости рядов динамики часто прибегают к процентному их выражению, что дает возможность сопоставлять уровни непосредственно несравнимые (например, численность населения, уровень производства).

Сравнивая количество комментариев в разные годы (по таблице динамики количества комментариев к записям в блоге), мы замечаем, что в целом их количество возрастает. Однако, в 2003 и 2007гг. количество комментариев оказалось меньше, чем в предыдущем году. Иногда рост по сравнению с предыдущим годом велик, как в 2004 г., а иногда мал. Следовательно, рост количества комментариев наблюдается лишь в среднем, как тенденция. В отдельные же годы уровни испытывают колебания, отклоняясь от основной тенденции.

Тенденция динамики связана с действием долговременно существующих причин и условий развития, хотя, конечно, после какого-то периода эти причины и условия тоже могут измениться и породить уже другую тенденцию развития изучаемого объекта.

Колебания же, напротив, связаны с действием краткосрочных или циклических факторов, влияющих на отдельные уровни динамического ряда, и отклоняющих уровни от тенденции то в одном, то в другом направлении.

Изменения уровней динамического ряда происходят за счет:

• тренда

Тренды - длительные колебания, выраженные в рядах динамики с постоянным увеличением (или уменьшением) средних уровней, как проявлением общей тенденции развития явления.

• сезонных колебаний

Циклические колебания, связанных с определенным периодом времени, повторяются ежегодно, вследствие смены сезона;

• пертурбационных колебаний,

Эксцессы - нерегулярные колебания, вызванные пертубационными факторами (стихийные бедствия, неурожаи, войны).

• случайных колебаний, вызванных результатом действия большого числа относительно слабых и второстепенных факторов.

Сопоставимость уровней динамического ряда

Для сопоставимости уровней динамического ряда необходимо использовать прием, называемый «смыканием» динамического ряда»:

• объединение в один ряд двух либо нескольких рядов динамики, уровни которого исчислены по различной методологии учета или разным территориально-административным границам;

• изменяющиеся уровни того или иного периода (момента) времени, как до, так и после изменений, принимаются за 100 %, то есть за базу сравнения.

Показатели динамики

• Абсолютные

1. Абсолютный прирост

2. Абсолютное ускорение

3. Абсолютное значение 1% прироста

• Относительные

1. Коэффициент роста

2. Коэффициент прироста

3. Темп роста

4. Темп прироста

• Средние

1. Средние хронологические:

   1. интервального ряда

   2. моментного ряда

2. Средний абсолютный прирост

3. Средний темп роста

4. Средний темп прироста

Основные характеристики динамического ряда

• Абсолютный прирост (снижение) ряда это абсолютная разность между текущим уровнем и предшествующим ему.

• Абсолютное ускорение (замедление) или «вторые разности» - разности между скоростями. Возможен расчет и третьих и четвертых разностей, которые могут быть со знаком плюс или минус в зависимости оттого, растет ли динамический ряд или убывает.

• Коэффициенты роста - это отношения выбранного уровня динамического ряда к предшествующему ему или к базисному. В зависимости от этого различают ценные и базисные коэффициенты роста. Выбор базисного уровня предполагает подробное знание изучаемого явления, его сути и требует глубоких познаний в данной области. Сравнение с нетипической базой приводит к неверно определяемой тенденции развития.

• Коэффициенты роста, умноженные на 100%, называют темпами роста.

• Рассчитываются также темпы прироста, абсолютное значение 1% прироста, средний абсолютный прирост, средний коэффициент роста

Абсолютный прирост

Характеризует увеличение либо уменьшение уровня ряда за определенный период времени.

Если производится сравнение с предыдущим периодом, то абсолютные приросты являются цепными

Если за базу сравнения принимается какой-то определенный уровень, то такие абсолютные уровни будут базисными.

Ускорение

Ускорением называется разность между последующим и предыдущим абсолютным приростом.

Ускорение показывает насколько данная скорость больше (меньше) предыдущей.

Если уровни ряда выражены в относительных величинах, то абсолютный прирост и ускорение выражаются в пунктах (а не в процентах).

Темп изменения

Темп изменения (роста, снижения) - это отношение отчетного уровня к сравниваемому - предыдущему или базисному, представленное в %.

Цепной	Базисный

Темп прироста

Темп прироста характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени. Рассчитывается как отношение абсолютного прироста к уровню ряда, взятому за базу сравнения (в %).

или

Различают темп прироста: цепной и базисный.

Абсолютное значение одного процента прироста

Представляет собой одну сотую часть предыдущего уровня. Его можно определить как отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста

Средние показатели динамики - средний уровень ряда, средние абсолютные изменения и ускорения, средние темпы роста - характеризуют тенденцию. Они необходимы при обобщении характеристик тенденции за длительный период, по различным периодам и незаменимы при сравнении развития за неодинаковые по длительности отрезки времени, при выборе аналитического выражения тренда. При наличии в динамическом ряду существенных колебаний уровней определение средних показателей тенденции требует применения специальных методов статистики, которые излагаются в последующих разделах. В данном разделе рассматривается только форма, математические свойства средних показателей динамики и простейшие приемы их вычисления, применимые на практике к рядам со слабой колеблемостью.

Средний уровень интервального динамического ряда

Для разных видов рядов динамики средний уровень рассчитывается неодинаково.

• В интервальном ряду абсолютных величин с равными периодами (интервалами):

• Для моментного ряда с равными промежутками между датами (моментами):

• Для моментного ряда с неравными промежутками между датами (моментами):

,где t- время.

Например, с 1-го числа месяца по 18-е число в блоге было оставлено 45 комментариев, с 19-го по 27-е – колличество комментариев составило 48, а с 28-го по 31 -е число - 54, то среднее число комментариев за месяц составит:

комментария

Средний абсолютный прирост

При наличии существенной колеблемости уровней средний абсолютный прирост, как и средний темп, определяется по тренду.

Средние темп изменения и средний темп прироста

средний темп изменения	средний темп прироста

Средние показатели динамики как параметры трендов:

• средний абсолютный прирост - параметр линейного тренда;

• среднее ускорение - параметр параболического тренда;

• средний темп роста - параметр экспоненциального тренда;

Основная тенденция динамики

Нахождение основной тенденции изменения уровней динамического ряда предполагает ее количественное выражение, в определенной степени свободное от воздействия случайных факторов.

Выявление основной тенденции развития (тренда) называется в статистике выравниванием.

Методы выявления основной тенденции динамического ряда априори

1) По существу изучаемых явлений (теоретический анализ).

2) Построение графического изображения.

3) Механический метод:

• метод укрупнения интервалов;

• усреднение полученных укрупненных уровней за ряд лет;

• сглаживание по скользящей средней.

4) Проверка гипотезы о различии средних показателей динамики:

• дисперсионный анализ (если ряд разбит на 3-5 периодов);

• в различных частях динамического ряда (если ряд разбит на 2 части).

Механический метод

• метод укрупнения интервалов (первоначальный ряд заменяется другим, уровни которого характеризуются значительно большими по продолжительности времени значениями);

• усреднение полученных укрупненных уровней за ряд лет;

• сглаживание по скользящей средней (объединение отдельных периодов в группы и исчисления средних, но со сдвигом на один, два или более периодов).

Интервал сглаживания желательно выбирать по нечетному числу уровней, то есть 3, 5, 7 и т. д.

Аналитическое выравнивание - метод измерения параметров тренда

Прослеживая (обычно на графике) развитие отдельного социально-экономического явления за ряд лет, можно подобрать теоретическую кривую (аналитическую функцию), достаточно хорошо аппроксимирующую эмпирический ряд.

• прямую;

• параболу;

• экспоненту;

• логарифмическую кривую и др.

Метод аналитического выравнивания

Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой: ,

где t - порядковый номер периода или момента времени.

Методом наименьших квадратов рассчитываются параметры а и b на основе системы нормальных уравнений:

Метод аналитического выравнивания

Нахождение параметров а и b упрощенным способом, при котором переносят начало координат в середину динамического ряда:

откуда: ,

Апостериорная проверка правильности выбранного типа тренда

1) Проверка значимости найденных параметров уравнения.

2) Проверка на основе суммы квадратов отклонений фактических значений от теоретических (рассчитанных по тренду). Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерия (данная проверка производится по уравнениям, имеющим одинаковое число параметров).

Важным моментом при анализе динамических рядов является их интерполяция, т.е. нахождение недостающих уровней внутри ряда, а также экстраполяция - нахождение уровней за пределами рассматриваемого периода.

Экстраполяция бывает перспективной и ретроспективной. Экстраполяция, как метод статистики, является одним из способов прогнозирования и научного предвидения.

Существенной проблемой в данной теме является изучения взаимосвязей в динамике.