formal_language_theory / lectures / unit_10

(T) e(P)

(q, x1t2x2…tm xm, x1 y1’B2x2 y2’ … Bm xm ym’, y0 z1)

(q, t2x2…tm xm, y1’B2x2 y2’… Bm xm ym’, y0 z1)

(q, t2x2…tm xm, B2x2 y2’… Bm xm ym’, y0 z1 y1) …

(q, tm xm, Bm xm ym’, y0 z1 y1… zm – 1 ym – 1)

(q, xm, xm ym’, y0 z1 y1… zm – 1 ym – 1zm)

(q, , ym’, y0 z1 y1… zm – 1 ym – 1zm)

(q, , , y0 z1 y1… zm – 1 ym – 1 zm ym) = (q, , , y).

51

(T) e(P)

В конце рассуждений о движениях pdt P принято во внимание представление цепочки y согласно равенству (1.1).

Итак, вся последовательность движений может быть представлена в виде

(q, x, A, ) (q, , , y).

В частности, из доказанного вспомогательного утверждения при A = S следует утверждение I.

52

e(P) (T)

II. Докажем теперь обратное утверждение:

Для этого индукцией по числу l движений типа 1, независимых от входных символов, определённых согласно п.1 построений, докажем более общее утверждение

для любого A N :

если (q, x, A, ) (q, , , y),

то (A, A) * (x, y).

T

53

e(P) (T)

одно движение типа 1. Очевидно, что оно — первое движение, так как в исходной конфигурации на вершине магазина находится A N. Это движение не может привести к появлению нетерминалов в магазинной цепочке из-за того, что они неизбежно привели бы к другим движениям типа 1.

54

e(P) (T)

Кроме того, магазинная цепочка, замещающая A на вершине магазина, должна начинаться на x, так как только в этом случае удаться продвинуться по входу x (за счёт движений, определённых в п.2, которые используют входные символы).

Наконец, магазинная цепочка должна заканчиваться на y ’, потому что только в этом случае на выходе может образоваться цепочка y (за счёт движений, определённых в п.3 , которые переносят образы выходных символов из магазина на выход).

55

e(P) (T)

где первое движение обусловлено тем, что

(q, xy ’, ) (q, , A),

а это означает существование правила

A x, y R.

Два последних перехода выполнены согласно пп. 2, 3 построений.

Воспользовавшись существующим правилом, немедленно получаем вывод

(A, A) (x, y).

e(P) (T)

Индукционная гипотеза. Предположим, что вспомогательное утверждение выполняется для всех l n (n 1).

Индукционный переход. Докажем утверж-

дение для l = n + 1. Пусть имеется переход

(q, x, A, ) (q, , , y),

в котором ровно n + 1 движение типа 1.

57

e(P) (T)

Поскольку в исходной конфигурации на вершине магазина A N, то первое же движение — типа 1:

(q, x, A, ) (q, x, x0 y0’B1x1 y1’…Bm xm ym’, )

быть удалена только, если входная цепочка x начинается на x0.

Ret 63

58

e(P) (T)

Поэтому далее последуют движения, определяемые п.2, которые продвинут вход по x0 и удалят такую же цепочку из магазина.

Далее ряд движений, определяемых п.3, удалит цепочку y0’ из магазина, выдав на выход y0, и символ B1 окажется на вершине магазина.

59

e(P) (T)

60