Учебник по УМФ первая часть

Это и есть уравнение малых поперечных колебаний мембраны. В случае, если мембрана

однородная, полученное уравнение после некоторых переобозначений можно переписать следующим образом:

где

a2 = Tρ и F(x, y,t) = ρ1 p(x, y,t)

В более компактной форме уравнение (50) можно записать также в следующем виде:

В качестве начальных условий для уравнения (50) или (51) задаются смещение и скорость любой её точки в начальный момент времени

§7. Граничные условия

Вслучае ограниченной мембраны наряду с начальными условиями (52) для уравнения (49) формулируются и граничные условия трехвидов. В отличие от струны или

стержня, границами являлись два противоположных конца, у мембраны границей являетсяограничивающий её плоский висходном положении контур l.

Вграничном условии первого рода задаются перемещения точек границы мембраны

влюбой момент времени, а именно

Если граница мембраны покоится, т.е. имеет место закрепление граница мембраны, то граничное условие (52) становится однородным

Как мы помним, производная по нормали с точностью до постоянного множителя T

соответствует напряжению, поэтому говорят, что условие (55) задает напряжение на границе мембраны. По третьему закону Ньютона это напряжение равно вертикальной

составляющей внешней силы, приходящейся на единицу длины граничного контура. В случае, если на границуне действует никакихсил, условие (55) становится однородным.

Граничное условие третьего рода задает в любой момент времени сумму перемещения границы инапряженияс некоторым постоянным множителем h:

Если γ(t) равно нулю, условие (56) становится однородным и в этом случае имеет

простую физическую интерпретацию. Для этого нужно представить, что граница мембраны скреплена упругим образом с плоскостью (x, y), какэто показано на Рис.3.2.

u

y

Рис. 24. Иллюстрацияграничных условий третьег рода

Тогда вертикальная составляющая напряжения на границе мембраны будет равна внешней упругой силе, приходящейся на единицу длины граничного контура, которая в

каждой точке по закону Гука пропорциональна смещению в этой точке и направлена в сторону противоположную смещению (как и проекция T на ось u), т.е. равна −ku .

Следовательно, можно записать, что

T ∂∂un (l,t) = ku(l,t)

По аналогии с решением задачи о колебании струны можно предположить, что функция V(r,φ) будет определять форму колебания мембраны, а множитель T(t) – изменяющуюсяво времени амплитудуэтих колебаний.

Подставив представление (61) в исходное уравнение (58), получим

разделения. Она, какмы выяснили при решении задачи о колебании ограниченной струны, должна быть отрицательной, чтобы уравнение, которое мы получим разделения переменных для функции T, имело нетривиальное и ограниченное решение. В связи с

этим её логично обозначить через –λ2 и переписать уравнение (62) следующим образом

Это уравнение называют уравнением Гельмгольца. Оно играет важную роль в математической физике, поскольку к нему сводятся не только задачи о колебаниях, в том

числе и в трехмерном случае, но и многие другие задачи (теплопроводности, диффузии и т.д.). Некоторые из нихбудут сформулированы в последующихглавах.

Для уравнения (66) можно сформулировать граничное условие. Действительно, подставляя представление (61) в граничное условие (60), мы в качестве единственно возможного условия его выполнения получим

Таким образом, нахождение решения уравнения (66) при граничном условии (68), а

также нахождение тех значений числа λ, при которых существует нетривиальное решение, представляет собой уже знакомую нам задачу Штурма-Лиувилля. Напомним,

что искомые функции называют собственными функциями, а значения числа λ –

собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля.

Для функции V(r,φ) нужно сформулировать также требование периодичности по координате φ, т.е.

Теперь можем сделать следующий шаг и представить искомую функцию двух переменныхV(r,φ)в виде произведениядвух функций

При этом условие (68) требует, чтобы функция Ф(φ) была периодической, а для функции R(r) после подстановки (70) в (67) получим нулевое граничное условие

Теперь подставим выражение (70) в уравнение (66), разделив все его члены на RΦи умножив ихна r2 . В результате получим соотношение

− r2R ''+ rR '+ r2λR = Φ '' , R Φ

обе части которого должны быть равны, как и на предыдущем шаге разделения переменных, постоянной отрицательной величине, т.е.

В результате получаем два уравнения. Одно из нихотносительно функции Ф(φ):

Нетривиальное периодическое решение этого уравнения существует лишь при µ2 = n2 (где n – целое число). Иначе говоря, мы будем иметь бесконечный набор решений

Второе уравнение, следующее из формулы (24), будет иметь вид

На самом деле, поскольку n – любое целое число, то мы будем иметь бесконечный набор уравнений одного вида. При этом предстоит найти и значение λ, которое для

каждого n будет своё. Так что правильнее будет написать

Их надо решить при выполнении граничного условия (71) и условия ограниченности функции R(r), в том числе в особой точке r = 0 , т.е.

Уравнение (27)носитназвание уравнение Бесселя, записанное в полярныхкоординатах.

Вводя новую переменную

x = λr

и обозначая

R(r) = R x = y(x)

λ

можем записать это уравнение в следующем более традиционном виде

где x = 0 является особой точкой, c дополнительными условиями

Г л а в а IV. Некоторые общие вопросы теориидифференциальных

уравнений гиперболического типа

В этой главе мы рассмотрим ряд общих вопросов теории уравнений в частных производных гиперболического типа, отвлекаясь от их физического смысла. В частности

мы не будем придавать одной из независимых переменных смысл времени и не будем выделять её среди прочих, как это мы делали в предыдущем изложении. Начнем с

рассмотрения задачи Коши для общего вида этого типа уравнений.

§ 1 . Задача Коши. Характеристики.

Запишем уравнение гиперболического типа в общем виде

где aij – заданные вещественные функции в некоторой области D n-мерного пространства x1,…, xn. Не ограничивая общности, можно считать aij = aji .

Пусть в области D задана достаточно гладкая (n – 1)-мерная поверхность S и в каждой точке этой поверхности некоторая линия l, не являющаяся касательной к

поверхности и достаточно гладко изменяющаяся при движении по поверхности S. В частном случае это может быть нормаль.

Пусть, кроме того, на поверхности S заданы значения функции u(x1,…, xn) и её

производной первого порядка по направлению l. Эти значения на поверхности S

называются начальными данными Коши.

Теперь сформулируем задачу Коши для уравнения (1) следующим образом.

Найти решение уравнения (1) в некоторой окрестности поверхности S, удовлетворяющее на этой поверхности начальным даннымКоши.

Заметим, что начальные данные Коши позволяют определить на поверхности S все частные производные первого порядка функции u (x1,…, xn). Что касается производных

второго порядка на поверхности S, то для их определения в нашем распоряжении имеется начальные данные и уравнение (1) и нужно выяснить, когда уравнение (1) однозначно определяет вторые производные по начальным данным.

Сначала выясним это для начальных данных, заданных специальным образом, а именно на гиперплоскости x1 = x10 :

При этом в качестве направления l выбрана нормаль. Начальные данные (2) дают нам

где С – произвольная постоянная.

С другой стороны, для того, чтобы уравнение (8) определяло семейство характеристик, необходимо и достаточно, чтобы функция ϕ (x1,..., xn ) удовлетворяла

уравнению (7). Можно показать, что всякую характеристику уравнения (1) можно

включить в семейство, имеющее вид (8) и что, таким образом, решения уравнения (7) определяют все характеристические поверхности.

Уравнение (7) называется уравнением характеристик дифференциального уравнения (1).

Рассмотрим для примера частный случай волнового уравнения

и коническую поверхность в пространстве (x, y, t):

ψ = t2 − x2 − y2 = 0

Уравнение (7) при этом будет иметь вид

При ϕ =ψ = 0 это уравнение удовлетворяется. Действительно

4t2 −4x2 −4y2 = 4(t2 − x2 − y2 ) = 4ψ = 0

Отсюда следует, что конус ψ = 0 является характеристической поверхностью уравнения

(9). В то же время поверхности ψ = C при С ≠ 0 уже не является характеристическими. Тогда конус ψ = 0 можно включить в семейство конусов

ϕ = t −x2 + y2 = C

Определенное таким образом φ удовлетворяет уравнению (10) и, следовательно, все поверхности семейства ϕ (x, y,t) = C являются характеристическими поверхностями

уравнения (9).

§ 2. Слабый разрыв. Фронт волны

Предположим, что существует решение уравнения (1) которое на некоторой поверхности S, задаваемой уравнением (3) для некоторых производных второго порядка

имеет разрыв первого рода, причем само решение и его производные первого порядка остаются непрерывными при переходе через поверхность S. Будем рассматривать это решение по разные стороны от поверхности S как два различных решения уравнения (1).

Эти решения на поверхности имеют одинаковые начальные данные, но различные значения производных второго порядка, т.е. существует неопределенность при

нахождении вторых производных. Это означает, что поверхность S должна быть характеристической поверхностью уравнения (1).

К такомуже выводуприводит пр едположение о том, что не только само решение и

его частные производные первого порядка, но и частные производные второго порядка остаются непрерывными при переходе через поверхность S, а разрыв первого рода имеет

место лишь для производныхпорядка выше второго.

И в первом и во втором случае говорят, что на поверхности S имеет место слабый разрыв. В общем случае говорят, что решение уравнения второго порядка (1) имеет

слабый разрыв на поверхности S, если при переходе через эту поверхность само решение и его первые производные остаются непрерывными, а некоторые производные порядка выше первого имеют при этом разрыв первого рода.

Обратимся теперь к задачам математической физики, где одна из независимых переменныхимеет физический смысл времени, при этом остальные переменные являются

пространственными координатами. Иначе говоря, общее число независимых переменных

будет равно n = m +1, где m – число пространственных переменных. Решение уравнение

(1) можно рассматривать как функцию точки в m-мерном пространстве Rm с координатами x1,…, xm, зависящую от времени как от параметра. Тогда вместо поверхности (3) будем

иметь поверхность слабого разрыва

которая движется в m-мерном пространстве. В разрешенном виде (11) можно записать следующим образом

перемещается с течением времени в направлении вектора grad ω. Чтобы определить

величину этой скорости наряду с моментом времени t, в который пересечение нормали с поверхностью будет находиться в точке М, рассмотрим момент t + t . В этот момент

времени фронт волны будет пересекать нормаль n в некоторой точке М1, находящееся на

nn

итогда вектор скорости движения фронта волны определяется формулой

Вслучае m = 2 будет линия на плоскости (x1, x2).

Вкачестве примера рассмотрим двухмерное волновое уравнение

В этом случае уравнение (7) запишется следующим образом

Подставляя сюда правую часть уравнения (13) для двухмерного случая, получим

a 2 (ωx21 +ωx22 ) =1

Посколькувыражение в скобкахесть ничто иное, как grad ω, то