Учебник по УМФ первая часть

Физическая картина распространения волн в трехмерном пространстве

Чтобы яснее представить физическую картину распространения волн в трехмерном пространстве, описываемое формулой Пуассона (19), положим, что начальное

возмущение сосредоточено в некоторой ограниченной области D с границей S, т.е. функции φ и ψ равны нулю вне области D. Пусть точка M (x, y, z) находится вне области D. Обозначим через d и l соответственно наименьшее и наибольшее расстояния от точки

M до точекповерхности S (Рис. 17). При t < da сфера Sat находится вне области D, а значит функции φ и ψ равны нулю на сфере Sat, тогда из формулы (19) имеем u (M, t) = 0.

будем снова иметь u(M, t) = 0. Моменту времени t = Da соответствует прохождению заднего фронта волны через точкуM.

Из изложенного следует, что передний фронт волны в заданный момент времени представляет собой поверхность, отделяющую точки, которые ещё не начали колебаться от точек, которые уже колеблются. Все точки этого фронта имеют кратчайшее расстояние

от S, равное at. Иначе говоря, передний фронт волны есть огибающая семейства сфер, имеющих центры на поверхности S и радиус, равный at. Задний фронт волы в заданный момент времени t представляет собой поверхность, отделяющую точки, которые ещё

продолжают колебаться от точек, которые уже не колеблются. Постоянная a является скоростью распространения, какпереднего, таки заднего фронта волны.

§ 2. Двумерное волновое уравнение

Обратимся к формуле (19) предыдущего параграфа и рассмотрим частный случай, когда функции φ и ψ зависят только от координат x и y. Если передвигать точку M (x,y,z)

параллельно оси О z, то правая часть формулы Пуассона не будет менять своего значения, а тогда и функция u не будет зависеть от z и формула (19) даст решение уравнения

Таким образом, мы можем пользоваться решением (19) оставаясь на плоскости (x, y). Для этого надо инт егралы в формуле (19), которые берутся по поверхностям сфер, преобразовать в интегралы по площади кругов на плоскости (x, y). Для этого возьмем

точкуМ(x, y) на плоскости (x, y). При этом точки с координатами (ξ,η,ζ), определяемыми по формулам

ξ = x +αat , η = y + βat , ζ = z +γat

при z = 0 будут переменными точками сферы Sat с центром в точке M (x,y,0) и радиусом at. Обе части этой сферы, находящиеся над и под плоскостью (x, y), проектируются на эту плоскость в виде круга Cat с центром в точке M (x,y,) и радиусом at. Известно, что

dCat = cos(n, z) dσat

где n – нормаль к поверхности сферы, совпадающая по направлению с её радиусом. Если N – переменная точка на сфере, а N1 – её проекция на плоскость (x, y), то

где (ξ,η,) – координаты переменной точки круга Cat.

Таким образом, в результате преобразования формулы (19) мы получим

Эта формула дает решение однородного волнового уравнения (20), удовлетворяющее начальным условиям (21).

§ 3. Теорема единственности для двумерного волнового уравнения

Докажем единственность решения волнового уравнения при заданных начальных

условиях. Для простоты записи будем считать a =1, чего можно всегда достигнуть, меняя масштаб времени заменой t на t/a. Для большей наглядности рассмотрим двумерное

волновое уравнение, т.е. для u (x,y,t)

Докажем единственность решения задачи Коши (23) – (24), предполагая, что решение

u(x,y,t) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно.

Пусть u1(x,y,t) и u2(x,y,t) – два решения уравнения (23), удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям (24). Тогда разность

(x − x0 )2 +(y − y0 )2 −(t −t0 )2 = 0

до его пересечения с плоскостью t = 0(Рис.22). Далее проведем еще одну плоскость t = t1,

усеченный круговой конус. Обозначим через σ0 и σ1 – соответственно нижнее и верхнее

основания этого конуса.

Теперь в приведенном ниже выражении произведем указанные в нем операции

инаправляющие косинусы будут соответственно равны cos(nt), cos(nx) cos(ny) .

Врезультате получим

На нижнем основании σ0 усеченного конуса D, в силу начальных условий (25), функция u и все её частные производные первого порядка равны нулю и, следовательно, второй интеграл в (26) равен нулю. На верхнем основании σ1 имеем

cos(nx) = cos(ny) = 0, cos(nt) =1

На боковой поверхности конуса S направляющие косинусы нормали удовлетворяют соотношению

В результате равенство (26) с учетом (27) можно переписать следующим образом

На боковой поверхности S cos(nt) = 22 и, следовательно, этот интеграл неотрицателен, из чего приходится заключить, что второй интеграл в формуле (29) равен нулю, а именно

Отсюда следует, что во всех точках внутри полного конуса с вершиной в точке

М(x0,y0,t0) частные производные первого порядка функции u равны нулю и, следовательно сама u равна константе, а поскольку на нижнем основании эта константа в силу (25) равна

нулю, то и в точке М(x0,y0,t0) она равна нулю. Поскольку точка М(x0,y0,t0) была нами выбрана произвольно в полупространстве t >0, то составленная нами функция u тождественно равна нулю в этом полупространстве, что и доказывает теорему

единственности.

§ 4. Трехмерное неоднородное волновое уравнение

Рассмотрим трехмерное неоднородное волновое уравнение

и будем искать его решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям

Это означает, что в исходном состоянии описываемый объект не был деформирован и покоился. В этом случае деформации этого объекта в последующие моменты времени

будут определяться только внешней силой F(x, y, z,t) и механическими свойствами

объекта.

Чтобы решить поставленную задачунужно решить однородное уравнение

но с ненулевой начальной скоростью, равной внешней силе из уравнения (28) в некоторый момент времени τ : F(x, y, z,τ) :

При этом τ становится параметром задачи. Иными словами воздействие внешней силы на объект заменяется на сообщение точкам объекта соответствующей скорости в некоторый

Теперь для решения задачи можно воспользоваться формулой (12) из §1, заменив в ней t на t −τ , тогда получим

является решением неоднородного уравнения (28) при нулевых начальных условиях (29). Действительно,из формулы (33) находим

причем внеинтегральный член при t =τ равен нулю в силупервого н ачального условия

(31), т.е.