Учебник по УМФ первая часть

где λ – неизвестный пока параметр.

В силуод нородности граничных условий (86) мы можем записать однородные граничные условия и для уравнения (88):

Для определения функции X (x) мы получаем известную уже задачу ШтурмаЛиувилля, в которой надо найти такие значения параметра λ, при которых существует

нетривиальное решение уравнения (88), удовлетворяющее граничным условиям (90), а также найти эти решения. Удовлетворяющие условиям задачи значения параметра λ

называются собственными значениями или собственными числами, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля.

В силу однородности уравнения (88) и граничных условий (90) собственные

функции определяются с точностью до постоянного множителя. Выберем этот множитель так, чтобы выполнялось равенство

котрое представляет собой условие нормировки собственных функций.

Собственные функции, удовлетворяющие условию (91), называют нормированными. Сформулируем некоторые общие свойства собственныхфункций и собственныхзначений

задачи Штурма-Лиувилля.

1.Существует счетное множество собственных значений λ1, λ2,…, λn,…, которым соответствуют собственные функции X1(x), X2(x),…, Xn(x),…

2.Все собственные числа при q ≥ 0 – положительны.

3.Собственные функции ортогональны междусобой с весом ρ(x) на отрезке 0≤ x ≤l,

т.е.

4.Всякому собственному числу соответствует с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция.

5.Произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция F(x), удовлетворяющая граничным условиям F(0) = F(l) = 0 , разлагается в равномерно и

абсолютно сходящийся ряд по собственным функциям {Xn(x)}:

Это свойство называюттеоремой разложимости Стеклова.

Доказательство свойств 1 и 5 обычно основывается на теории интегральных уравнений, которая выходит за пределы настоящего курса. Мы остановимся лишь на доказательствахсвойств 2, 3 и 4.

Обратимся к доказательству свойства 3. Его удобно доказать, воспользовавшись одной из формул Грина. Мы докажем эти формулы в главе VI. Здесь нам понадобится формула Грина для дифференциального оператора, представляющего левую часть

уравнения(84), а именно

дифференцируемые на интервале a < x < b и имеющие непрерывную первую производную на отрезке a ≤ x ≤ b . Рассмотрим теперь выражение

Возьмем теперь две собственные функции Xn(x) и Xm(x), соответствующие собственным значениям λn и λm. Если мы положим в формуле (95) u = Xm(x), v = Xn(x), а в

качестве границ интервала возьмем значения 0 и l, то учитывая граничные условия (90) получим

что и выражает условие ортогональности собственных функций Xn(x) и Xm(x) с весом ρ(x).

Докажем теперь свойство 4.

Как мы знаем, всякая собственная функция, будучи решением обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, определяется однозначно по заданному

значению самой функции и её первой производной в некоторой точке, например при x=0. Допустим существование двух функций X1 и X2, отвечающиходномуи томуже значению

λ и обращающихся в соответствии с граничными условиями в нуль при x=0. Тогда, если мы возьмем функцию

то убедимся, что она удовлетворяет тому же уравнению второго порядка (88) и тем же начальным условиям, что и функция X1

∞

u (x,t) = ∑[An cos (λn t) + B n sin (λn t)]Xn (x)

n=1

Чтобы эта сумма ряда была решением уравнения (84), нужно, чтобы сам ряд и ряды,

полученные двукратным почленным дифференцированием, сходились равномерно по x и t. Для определения коэффициентов Ak и Bk воспользуемся начальными условиями (85) и теоремой разложимости Стеклова. Для этого запишем начальные условия в виде

u(x,0) = ∑An Xn (x) = f (x)

n

ut (x,0) = ∑Bn λn Xn (x) = g (x)

n

Умножим теперь обе части этих равенств на ρ(x)Xk (x) и проинтегрируем по x от 0 до l.

Тогда воспользовавшись условием ортогональности (92) и нормировки (91) мы получим выражения

§12. Задача Гурса

Вэтом параграфе мы коротко познакомимся с задачей определения решения уравнения в частных производных по данным на характеристиках. Такую задачу

называют задачей Гурса.

Рассмотрим задачу о колебании полубесконечной струны в случае, когда a2 =1. В этом случае уравнение будет иметь вид

К такому виду уравнения всегда можно прийти, изменив масштаб времени за счет

умножения исходных единиц на коэффициент а. В результате уравнение принимает симметричный вид (63). Однако дополнительные условия вносят асимметрию в задачу,

поскольку для переменной t в начальных условиях (при t = 0) задаются две функции u(x,0) и ux (x,0) , а для переменной x в граничном условии (при x=0) задается только одна

функция u(0,t) .

Наряду с постановкой дополнительных условий на прямых x=0 и t = 0 на фазовой плоскости (x,t) эти условия можно ставить и на кривых в фазовой плоскости (рис. ).

Например, граничные условия можно задавать на некоторой линии С1: x = f1(t) , а начальные условия на некоторой линии С2: x = f2 (t) . В качестве таких кривых могут

выступать характеристики уравнения в частныхпроизводных.

Для некоторых уравнений координатные прямые также могут являться характеристиками. Рассмотрим, например, простейшую задачу, в которой требуется решить уравнение

с дополнительными условиями, заданными на прямых x=0 и y = 0, являющихся характеристиками уравнения (105):

Интегрируя уравнение (105) последовательно уравнение (105) поx и y, получим

x

uy (x, y)=uy (0, y)+∫ f (ξ, y)dξ,

0

y x

u(x, y)=u(x,0)+u(0, y) −u(0,0)+ ∫ ∫ f (ξ,η)dξdη

0 0

или

y x

u(x, y) =ϕ1(x) +ϕ2 (y) −ϕ1(0)+∫ ∫ f (ξ,η)dξdη (108)

0 0

Таким образом, для простейшего уравнения, не содержащего первых производных

ux, uy и искомой функции, решение представляется в аналитической форме (108). Рассмотрим теперь более общий вид линейного гиперболического уравнения

при дополнительныхусловияхна характеристиках x=0 и y = 0

где φ1 и φ2 удовлетворяют требованием дифференцируемости, а коэффициенты a, b и c – непрерывные функции x и y.

Последовательно интегрируя уравнение (109) по x и y, получим для функции u(x, y) интегродифференциальное уравнение

Это уравнение решается приближенно с помощью метода последовательных приближений, что выходит за пределы настоящего курса.

§ 13. Теорема единственности решения краевых задач для одномерного волнового уравнения

При решении граничных задач следует убедиться в существовании решения и его

единственности. Существование решения либо устанавливается в процессе изложения метода решения, либо доказывается теорема существования. Единственность устанавливается доказательством соответствующей теоремы единственности.

В настоящем параграфе приводится доказательство теоремы единственности для одномерного волнового уравнения достаточно общего вида при заданных начальных

условиях и граничных условиях первого, второго и третьего рода. Эта теорема формулируется следующим образом.

Существует только одна функция u(x, t), определенная в области 0 ≤ x ≤ l, при t > 0, которая удовлетворяет уравнению

если выполнены следующие условия:

1)функция u(x, t) вместе со своими первыми и вторыми производными непрерывна на отрезке 0 ≤ x ≤ l, при t > 0,

2)коэффициенты ρ (x) и k (x) непрерывны на отрезке 0 ≤ x ≤ l .

Допустим, что существует два решения рассматриваемой задачи:

и покажем, что она не зависит от t. В задаче о колебании струны эта функция

представляет собой полную энергию струны в момент времени t. Продифференцировав E(t) по t получим

Интегрируя первое слагаемое по частям, получим

В силу условий (116) и (117) первое слагаемое правой части равно нулю, следовательно

т.е. E(t) = const . Тогда учитывая начальные условия, получаем

а тогда и формула (118)принимает вид:

1 ∫l k(vx )2 + ρ (vt )2 d x = 0 2 0

откуда, учитывая положительность ρ (x) и k (x), заключаем, что

Тем самым единственность третьей краевой задачи доказана.

Гл а в а III. Двумерные и трехмерные задачи для волнового уравнения

Вдвумерном и трехмерном случаях волновое уравнение можно записать следующим образом

где М – точка на плоскости или в пространстве. Двумерное волновое уравнение обычно связывают с задачей о колебании мембраны. К трехмерному волновому уравнению приводятся задачи о течении жидкости, скорость которой имеет потенциал, о распространения звука в газе, о распространении электромагнитных полей в

непроводящей среде и задачи теории упругости. Эти задачи мы рассмотрим в последующих главах.

Во всех этих задачах волновое уравнение описывает процесс распространения волн. В одномерном случае мы в этом убедились при р ассмотрении формулы Даламбера. Такие волны называют плоскими волнами. Однако и в трехмерном пространстве в случае

сферической симметрии мы будем иметь дело с распространением звуковых или электромагнитных волн, которые на большом расстоянии от источника можно считать

плоскими. Двумерные волны называются цилиндрическими волнами, а трехмерные –

сферическими волнами.

Выведенную нами ранее формулу Даламбера можно обобщить соответствующим образом на двухмерный и трехмерный случаи. Начнем с трехмерного случая.

§ 1. Волны в трехмерном пространстве

Сферически симметричная задача

Сначала рассмотрим для однородного уравнения

задачу, обладающую центральной симметрией относительно некоторой точки М0. В качестве примера можно привести задачу о радиальных колебаниях газа. Итак, будем

искатьрешения уравнения(2)

u(M ,t) = u(r,t) ,

где r – расстояние междуточками М и М0. В этом случае уравнение (2) после записи его в сферической системе координат можно свести к одномерному уравнению для функции

v = ru

обращается в нуль. В результате задача Коши для уравнения (2) с начальными условиями

сводится к задаче о колебаниях полуограниченной струны (0 ≤ r < ∞) с закрепленным концом в точке r = 0 :

vrr = 1a vtt