Учебник по УМФ первая часть

В этом уравнении левая часть есть функция только переменной t, а правая – только переменной x. Это может иметь место, только если и левая и правая часть является

постоянной величиной, которую мы обозначим λ:

где λ, может быть любым действительным числом и знак минус с этой точки зрения ничего не меняет, но для дальнейшего такое обозначения константы разделения оказывается более удобным. Заметим, что значение λ еще предстоит найти и только в том

случае если оно существует наше представление (33) оправданно. В связи с этим существование значения (или значений) числа λ называют условием разделения переменных.

Соотношение (33) позволяет нам записать два уравнения:

Чтобы функция (33), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла нулевым граничным условиям (31), приходится потребовать, чтобы выполнялись условия

Таким образом, мы приходим к необходимости решить две задачи. Первая из них состоит в том, что требуется найти нетривиальное и ограниченное при всех x решение уравнения (35), удовлетворяющее граничным условиям (37), а также те значения λ, при

которых это решение существует. Эта двоякая задача носит название задачи ШтурмаЛиувилля. Найденные в результате решения задачи значения λ называются собственными

числами, а соответствующие им решения X (x) – собственными функциями.

Уравнение (35), как известно, имеет три вида решения в зависимости от того, какие корни имеет соответствующее характеристическое уравнение

k2 +λ = 0

В результате при λ = 0 учет нулевых граничных условий приводит к тривиальному решению, что противоречит условию задачи. При λ < 0 решение имеет вид

X (x) = C1e−λ x +C2e−−λ x

Подстановка первого граничного условия приводит к равенству C1 = −C2 , а

подстановка второго граничного условия приводит к равенству e−2lλ =1, чего не может быть, если λ ≠ 0 . Остается только случай λ > 0, тогда решение будет иметь вид

X(x) = C1 cos(λ x) +C2 sin(λ x) ,

Вкотором в силу первого граничного условия С1 = 0, а второе граничное условие приводит ксоотношению

В результате получаем бесконечный набор собственных чисел, каждому из которых соответствует собственная функция

где С2n – произвольные постоянные. Эта функция представляет собой с точностью до

множителя синус кратного аргумента

Теперь можно обратиться к решению уравнения (36). Поскольку мы имеем бесконечный набор значений λ, то вместо уравнения (36) нам предстоит решать

бесконечный набор уравнений одного вида

При записи выражения (41) было учтено, что произведение произвольной константы C2n на произвольные константы An и Bn будет также давать произвольные константы, которые можно снова обозначить через An и Bn.

Сумма решений (41) и будет общим решением уравнения (33)

Каждая из функций un (x) представляет собой так называемую стоячую волну. Действительно, как мы уже отмечали, множитель sin(nπx/l) представляет собой

периодическую функцию по координате x с полупериодом, равным 1/n от длины струны, а множитель в квадратных скобках представляет собой периодическую по времени функцию

l

Стоячую волнус номером n называют n-ой гармоникой или n-ой модой колебаний.

На рис.18 приведены примеры графического изображения стоячих волн для n=1,2,3.

Константы An и Bn, а значит и константа Dn, представляющая собой амплитуду колебаний, остается пока неизвестной.

Рис. 18. Стоячие волны: а) n=1; б) n=2; в) n=3.

Теперь перейдем к определению констант An и Bn . Для этого воспользуемся начальными условиями (32), подставив полученное решение (42) с учетом (43). В

результате получим

Таким образом, решение задачи о малых поперечных свободных колебаниях ограниченной струны, защемленных на обоих концах, имеет вид суперпозиции бесконечного набора стоячих волн, которые определяются по формуле (41) с учетом формул (47).

Замечание о колебании музыкальных струн

Колеблющаяся струна возбуждает колебания окружающего воздуха, воспринимаемые ухом человека как звук. Музыкальные звуки принято располагать в

порядке возрастания частоты колебаний, создаваемых музыкальным инструментом, от низких к высоким. Колебание музыкальной струны с самой малой (низкой) из её частот называют основным тоном. Колебания той же струны с частотами ωn, кратными

получим окончательное выражение для Tn(t) в следующем виде:

o o

Подставив найденные выражения для Tn(t) в ряд (58), получим решение задачи (52) – (54), а именно

§ 8 . Продольные колебания однородного стержня

Стержнем называют тело, один из размеров которого, называемый продольным, значительно превышает его размеры в плоскости, перпендикулярной к продольному

направлению, т.е. поперечные размеры. Основным свойством стержня является сопротивление, оказываемое продольному сжатию (растяжению) и изгибу. Это свойство

коренным образом отличает стержень от струны, которая не растягивается и не сопротивляется изгибу. Если плотность материала стержня во всех его точках одинакова, то стержень называют однородным.

Обычно в качестве стержней рассматриваются протяженные тела, ограниченные замкнутой цилиндрической поверхностью. В этом случае площадь поперечного сечения

остается постоянной. Мы будем изучать поведение именно такого однородного стержня длины l, предполагая, что он подвержен только сжатию или растяжению, подчиняясь при этом закону Гука. При изучении малых продольных деформаций стержня обычно принимается так называемая гипотеза плоских сечений. Она заключается в том, что поперечные сечения, перемещаясь при сжатии или растяжении вдоль стержня, остаются плоскими и параллельными друг другу.

Направим ось x вдоль продольной оси стержня (Рис. 19) и будем считать, что в начальный момент времени концы стержня находятся в точках x=0 и x=l. Возьмем произвольное сечение стержня с координатой x. Обозначим через u (x, t) смещение этого

где E – модуль упругости материала стержня (модуль Юнга), а S – площадь поперечного сечения. На границах участка стержня длиной dx на него действуют силы Tx и Tx+dx ,

направленные вдоль осиx. Результирующая эти ихсил будет равна

а ускорение рассматриваемого участка стержня равно ∂2u , тогда уравнение движения

∂t2

этого участка стержня будет иметь вид:

где ρ – плотность материала стержня. Если эта плотность и модуль Юнга, постоянны , то

окончательно получить уравнение продольных колебаний стержня в отсутствии внешних сил

Это уравнение по форме совпадает с уравнением поперечных колебаний струны и

методы решения для него те же, однако, коэффициентом a в этих уравнениях обозначены разные величины. В уравнении струны величина a2 представляет дробь, в числителе

которой стоит постоянная сила натяжения струны – Т, а в знаменателе линейная плотность ρ, а в уравнении струны в числители стоит модуль Юнга, а в знаменателе – объемная плотность материала стержня ρ. Отсюда и физический смысл величины a в этих уравнениях разный. Если для струны этот коэффициент является скоростью распространения малого поперечного смещения, то для стержня он является скоростью

распространения малого продольного растяжения или сжатия и называется скоростью распространением звука, поскольку именно с этой скоростью будут распространяться по стержню малые продольные колебания, представляющие собой звук.

продольных колебаний стержня, которое решается по аналогии с уравнением вынужденныхколебаний струны.

Замечание. Следует заметить, что и струна и стержень являются моделями реальных тел, которые в действительности могут проявлять как свойства струны, так и

стержня, в зависимости от условий, в которых они находятся. Кроме того, в полученных уравнениях не учитываются силы сопротивления окружающей среды и силы внутреннего

трения, в результате чего эти уравнения описывают незатухающие колебания. Для учета эффекта затухания в простейшем случае используется диссипативная сила, пропорциональная скорости и направленная в сторону, противоположную движению, т.е.

скорости. В результате уравнение (73)принимает вид

§ 9. Случай ненулевых граничных условий.

Уравнение колебания струны и уравнение колебания стержня суть одномерные

волновые уравнения с разным физическим смыслом. Изложенный выше метод разделения переменных для однородных уравнений требовал, чтобы граничные условия были нулевыми. В случае ненулевых граничных условий

искомое решение u(x,t) имеет смысл искать в виде суммы двух слагаемыхu1 и u2, выбрав в качестве u1

u1(x,t) = µ1(t) + xl [µ2 (t) − µ1(t)]

Тогда вторую часть u2(x,t) можно искать какрешение уравнения с нулевыми граничными условиями:

§ 10. Телеграфное уравнение.

Как известно, при прохождении электрического тока по проводнику, вокруг него образуется электромагнитное поле, которое в свою очередь вызывает изменения, как силы

тока, так и величины напряжения. В результате в проводнике возникает определенный колебательный процесс, который мы постараемся описать уравнениями в частных производных.

Совместим ось x с осью проводника длиной l, поместив начало координат в один из его концов. Сила тока I и напряжение v в каждой точке проводника будут функциями координаты x и времени t. Выведем уравнения с частными производными, связывающие

эти величины между собой. Будем предполагать, что емкость С, сопротивление R, самоиндукция L и утечка G, которая имеет место за счет несовершенства изоляции,

распределены вдоль провода непрерывно, равномерно и рассчитаны на единицу длины проводника.

Применяя закон Ома к участку проводника, заключенного между двумя произвольными сечениями с координатами x1 и x2, мы получим

Количество электричества, протекающего через рассматриваемый участок проводника за единицувремени равно

i(x1,t) −i(x2,t) = −x∫2 ∂∂xi dx

x1

С другой стороны оно равно сумме электричества, необходимого для зарядки этого участка, и электричества, которое теряется вследствие несовершенства изоляции, т.е.

Таким образом, линейные уравнения в частныхпроизводныхпервого порядка (79) и (80) описывают свободные электрические колебания в проводнике.