Учебник по УМФ первая часть

Циркуляция и роторвекторного поля

Если в векторном поле, заданном выражением (2), выбрать некоторую линию L и определенное направление на ней, то вектор дифференциала дуги задается выражением

ds = dxi + dyj + dzk .

Циркуляцией вектора А вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл по этомуконтуруот проекции вектора А на вектор ds, т.е.

Рассмотрим теперь предел отношения циркуляции по плоскому контуру L, окружающему точку М, к площади, ограниченной этим контуром, при условии, что контур L стягивается в точку М, оставаясь в одной и той же плоскости:

∫ As (M ) ds

Чтобы вычислить этот предел, следует преобразовать выражение для циркуляции, воспользовавшись формулой Стокса:

При стягивании контура L в точку P значение подынтегральной функции будет стремиться к её значению в этой точке. Это подынтегральное выражение является

скалярным произведением вектора нормали n = (cos α, cos β, cos γ) кплоскости, в которой лежит контур L, и вектора, проекции которого равны

Этот вектор и называется ротором или вихремвектора А(М):

Таким образом, результат применения дифференциального оператора ротора к вектору является величиной векторной.

С помощью определения ротора теорему Стокса можно сформулировать в векторной форме:

Если ротор векторного поля равен нулю, то векторное поле является безвихревым или потенциальным. Более подробно это будет обсуждаться в главахVI и VII.

4. При записи волновых уравнений иногда используют так называемый оператор Даламбера или волновой оператор

a2 tt

5. Оператор u – вектор:

∆u = grad divu −rot rot u =

6.Оператор, представляющий собой последовательное применение оператора ротора и оператора дивергенции кскалярной функции U (x,y,z). Нетрудно убедиться, что в

результате мы получим вектор, равный нулю, а именно:

7. Оператор, представляющий собой последовательное применения оператора дивергенции и оператора ротора квекторной функции А (x,y,z). Нетрудно убедиться, что в этом случае мы в результате получим скалярную величину, равную нулю:

В заключение заметим, что при записи уравнений в частныхпроизводныхта часть, в

которую входят частные производные, часто рассматривают как дифференциальный оператор. При этом используют запись L[u]или Lu, например

Гл а в а II. Одномерное волновое уравнение

Кволновому уравнению, как уже отмечалось, мы приходим при изучении различных колебательных явлений, которые сопровождаются образованием волн (колебания точек струны, стержня, мембраны; колебания плотности, давления и скорости при

распространении звука). В отсутствии внешнихсил волновое уравнениеимеет вид:

где с является постоянной скоростью распространения волны.

Мы начнем знакомство с волновым уравнением с одного из самыхпростыхслучаев, а именно с задачи о малыхпоперечныхколебанияхструны без учета затухания.

§1. Уравнение малых поперечных колебаний струны

В математической физике струной называют тонкую нить, не оказывающую сопротивление изгибу, которая находится в состоянии натяжения. Выведем уравнение

движения струны с этими свойствами с учетом действия внешней силы. Строго говоря, заранее мы не можем говорить, что это будет уравнение колебаний, поскольку только

решение уравнения покажет нам, каким будет движение.

Расположим ось x вдоль линии натяжения бесконечной струны в состоянии равновесия, тогда перпендикулярная ей ось u будет параллельна поперечным смещениям

этой струны (Рис. 5). Сила натяжения Т для всех точекструны будет одинакова по величине и направленав каждой из этихточекпо касательной кструне.

Рис. 5. Расположение струныи силынатяженияпри отклоненияот оси x.

Пусть ρ (x) – линейная плотность струны, а p(x,t) – удельная сила (в данном случае приходящаяся на единицу длины), приложенная перпендикулярно струне в ее исходном положении. Будем рассматривать поперечные смещения струны и считать их настолько

малыми, что можно будет отбрасывать величины второго порядка малости по сравнению с ∂∂ux . В этом случае элемент струны dx после отклонения от положения равновесия будет иметьдлину

Это означает, при принятой нами степени малости поперечных смещений струны она не будет растягиваться и, следовательно, не будут возникать упругие силы.

Рис. 8. Граничные условиявторого рода

Граничные условия II рода. В этом случае задаются проекции силы на ось u на концах струны как функции времени. Как мы выяснили, каждая из них равна Tu x , поэтомуна концах задаются производные ux как функции времени (Рис. 8)

Если концы струны свободны, хотя и перемещаются только по вертикали, то в условиях(7) g1(t) и g2(t) будут равны нулю.

Граничные условия III рода. В этом случае лучше начать с механического смысла этих условий. Сначала предположим, что концы струны связаны с осью x (см.рис.13), тогда со стороны каждой из пружин на концы струны по закону Гука будут действовать

силы пропорциональные смещению u. Поскольку силы, действующие со стороны пружин должны быть равны вертикальным проекциям сил со стороны струны, то можно записать

условия на концахследующим образом:

где k1 и k2 – жесткости пружин, прикрепленныхкструне на концахструны. Такое граничное условие часто называют упругим закреплением струны в граничныхточках

Теперь рассмотрим общий случай, когда один конец пружины прикреплен к струне,

а второй движется по вертикали по заданномузаконувремени θ (t) (Рис. 9). Тогда условия (9) изменятся следующим образом:

Рис. 9.Граничные условиятретьего рода (частный случай).

Рис. 10.Граничные условиятретьего рода (общий случай).

К перечисленным видам граничных условий нужно добавить граничное условие, которое описывает действие на конце струны вертикальной силы, пропорциональной

скорости и направленной в противоположном направлении. Такую силу обычно называют

силой вязкого трения. Она может создаваться гидравлическим демпфером, соединяющим конец пружины с неподвижной точкой на оси x. Условие такого типа записывается (для

левого конца) следующим образом:

В некоторых физических задачах приходится прибегать к использованию на разных

концах струны разных типов граничных условий. Например, на левом конце задается

условие защемления, а на правом упругое закрепление.

§ 3. Решение задачи Коши

Формула Даламбера

Чтобы выяснить, как будет вести себя бесконечная струна в отсутствии внешних сил, необходимо решить задачу Коши для уравнения (5) с начальными условиями (6), которые мы перепишем в следующем виде:

Одно из условий (15) может быть нулевым, но не оба, ибо в этом случае струна будет оставаться в исходном, недеформированном состоянии.

Решение задачи Коши осуществим в три этапа:

1-й шаг (приведение уравнения(7)кканоническомувиду): Введем новые переменные ξи ηследующим образом:

и запишем равнение (14) в новыхпеременных. Для этого получим выражения для uxx и utt:

ux = uξ ∂∂ξx +uη ∂∂ηx = uξ +uη ,

uxx = uξξ + 2uξη +uηη ,

После подстановки полученныхвыражений висходное уравнение (14) получим:

Уравнение (17) является каноническим видом уравнения (14), а переменные ξ и η –

каноническими переменными.

2-й шаг (решение преобразованного уравнения):

Проинтегрируем полученное уравнение по ξ, а затем по η. После интегрирования по ξ, получим:

uη (ξ,η) = F(η) ,

где F(η) – произвольная функцияот η. После интегрирования по η получим

u(ξ,η) = ∫F(η)dη +ψ (ξ) =ϕ (η) +ψ (ξ),

где φ(η) и ψ(ξ) – произвольные функции своихаргументов.

3-й шаг:

Возвращаясь кстарым переменным, получим

Физический смысл полученного решения состоит в том, что оно представляет собой

суперпозицию двух волн, распространяющихся вдоль оси x в противоположных направлениях со скоростью a, как это показано на рис.11, причем формы этих волн,

определяемые функциями ϕ и ψ, являются произвольными.

4-й шаг (Использование начальныхусловий):

Для конкретизации формы воспользуемся начальными условиями. Для этого подставим полученное решение и его производную по времени в начальные условия (15).

Рис. 11.Распространяющиеся волны

В результате получим два уравнения относительно неизвестных функций φ(x) и

ψ(x):

u (x,0) =ϕ (x) +ψ (x) = f (x),

ut (x,0) = −aϕ '(x) + aψ '(x) = g(x).

Проинтегрировав второе уравнение от x0 до x, получим систему уравнений относительно искомых функций:

Записывая полученные решения для любого времени t, будем иметь

Складывая почленно оба выражения с одновременным изменением порядка интегрирования во второмиз них, получим окончательный вид решения задачи Коши:

Эта формула носит название формулы Даламбера. Она была получена в предположении, что решение поставленной задачи Коши существует, а её наличие

доказывает и единственность решения. Можно показать и непрерывную зависимость решения от начальных данных. В самом деле, для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0,

что если заменить f и g наf1 и g1,так, что

f (x) − f1(x) <δ, g(x) − g1(x) <δ (−∞ < x < ∞) ,