Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать правила вывода 2-12 средствами гильбертовского ИВ.

2. Проверить, что гильбертовские аксиомы (1)-(11) представляют собой тождественно истинные высказывания при обычном определении логических связок.

3. Не используя закон исключённого третьего, доказать формулы:

4. Используя закон исключённого третьего, доказать формулы:

5. Найти ошибку в “доказательстве” теоремы о том, что аксиома (10) следует из (1)-(9), (11):

По лемме о дедукции достаточно доказать, что Применим правило из примера 7 дляИмеем:иОтсюда по вышеупомянутому правилучто и требовалось доказать.

Указание: посмотреть внимательно, на основании каких утверждений было получено доказательство правила из примера 7.

1.5. Интуиционистская логика

Обнаружившиеся в математике к началу ХХ века противоречия (см. раздел 2.4: антиномии теории множеств) вызвали естественное желание разобраться в причинах этих противоречий и устранить их. Голландский математик Брауэр решил, что нельзя использовать в рассуждениях закон исключённого третьего, так как он предполагает, что любое суждение либо истинно, либо ложно, а это, по мнению Брауэра, противоречит интуиции. Брауэр считал, что математика в своих абстрактных рассуждениях оторвалась от своих интуитивных корней и поэтому её выводы оказались неверными. Он считал, что следует очистить математику от неправильных (по его мнению) рассуждений и, в частности, убрать из математической практики закон исключённого третьего. Возражения против этого закона следующие: если мы утверждаем, что верното надо предъявить доказательство утвержденияа если мы утверждаем, чтоневерно, надо предъявить доказательство утвержденияговорить же о том, что обязательно либолибоокажется истинным, по мнению Брауэра и его последователей, неправомерно. Это направление в математике и математической логике получило названиеинтуиционизма. После Брауэра интуиционистские идеи были подхвачены Гейтингом и некоторыми другими математиками. В нашей стране идеи, близкие к интуиционистским, проявились в появленииконструктивизма, в создании которого большую роль сыграл А.А.Марков. Конструктивисты пошли дальше интуиционистов и требовали ещё больших ограничений в использовании логических средств.

Приведём некоторые результаты из интуиционистской логики, созданной Гейтингом. Напомним, что она определяется гильбертовскими аксиомами (1)-(10) (см. § 1.4), а значит, нельзя использовать аксиому (11) – закон исключённого третьего.

Многие результаты предыдущего параграфа верны не только в классической, но и в интуиционистской логике. В частности, вывод формулы лемма о дедукции (см. § 1.4),“разбор случаев” (пример 3 § 1.4) не требовали применения закона исключённого третьего, а значит, справедливы в интуиционистской логике. Формулы доказывались также без использования аксиомы (11), поэтому справедливы в ИИВ. Обратные формулысправедливы в классическом ИВ, но несправедливы в интуиционистском.

Итак, в интуиционистской логике двойное отрицание неэквивалентно отсутствию отрицания. Однако, тройное отрицание эквивалентно однократному. Действительно, в доказательстве формулы можно сразу вместовзятьи мы получим:Возьмём в формулевместоформулуТогда получим:Так какуже доказано, то поmodus ponens получаем:

Один из законов де-Моргана а именно, исправедлив в ИИВ, так как его доказательство не использует закон исключённого третьего. Другой закон де-Моргана в интуиционистской логике несправедлив.

Приведём примеры формул, невыводимых в интуиционистской логике (здесь – атомарные формулы):

Подчеркнём, что невыводимость перечисленных формул гарантируется лишь в случае, когда и– атомарные формулы. Если– неатомарные, то некоторые из перечисленных формул могут оказаться выводимыми: например, если во второй формуле вместовзятьто получится выводимая в ИИВ формула

Докажем теперь невыводимость формулы (закона исключённого третьего) в интуиционистской логике. Рассмотрим трёхзначное множество значений истинности в котором 0 интерпретируется как ложь (Л), 1 – как истина (И),– как неопределённость (Н). Определим конъюнкцию и дизъюнкцию обычным способом:отрицание:Импликация определяется так:

Можно проверить, что аксиомы гильбертова исчисления (1)-(10) являются тождественно истинными в трёхзначной логике, т.е. при любом присвоении буквам значений из множестваформула оказывается равной 1. Кроме того, правилоmodus ponens сохраняет тождественную истинность. Значит, все выводимые в ИИВ формулы тождественно истинны (и трёхзначной логике). Однако, формула тождественно истинной не является, так как приНЗначит, формуланевыводима в ИИВ.

Замечание. Существуют тождественно истинные, но невыводимые в ИИВ формулы. Например,