Независимость правил вывода

Теорема 5. Правила вывода 1-12 независимы.

Доказательство. Нам надо доказать, что ни одно из правил 1-12 не следует из других, т.е. при удалении любого из этих правил класс доказуемых секвенций сужается.

Рассмотрим правило 1: Переопределим конъюнкцию, назвав конъюнкцией тождественно ложное высказывание, а определения дизъюнкции, отрицания и импликации оставим прежними. Можно проверить, что правила 2-12 переводят тождественно истинные секвенции в тождественно истинные. Так как секвенцияне является в новом смысле тождественно истинной, то она недоказуема (без правила 1). Таким образом, правило 1 не является следствием других правил.

Назовём характеристическим свойством правила свойство, которым обладают все секвенции, доказуемые с помощью правил, отличных оти не все, доказуемые с помощью правилаДля правил 2-8 (так же, как и для правила 1) таким характеристическим свойством будет тождественная истинность секвенций при надлежащем определении отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации. Перечислим эти определения, оставив проверку читателю в качестве упражнения.

Правило 2: операцииобычные;

правило 3: операцииобычные;

правило 4: операцииобычные;

правило 5: операцииобычные;

правило 6: операцииобычные;

правило 7: операцииобычные;

правило 8: операцииобычные.

Для доказательства независимости правила 9 возьмём в качестве значений истинности множество Конъюнкцию и дизъюнкцию на множествеопределим обычным образом:Отрицание определим так:Импликацию определим следующим образом:Назначим пропозициональным переменнымкакие-либо значения истинностиа затем распространим значения истинности на другие формулы. Характеристическим свойством секвенциидляправила 9 является следующее: а характеристическое свойство секвенции–(При этом, еслито считаем

Правило 10 не следует из остальных, потому что без него не будет доказуема ни одна секвенция вида (т.е. характеристическим свойством является наличие формулы справа от знака

Для правила 11 характеристическое свойство секвенции (соотв.,состоит в следующем: еслито секвенция(соотв., секвенциядоказуема в ИВ.

Наконец, для правила 12 характеристическое свойство секвенций исостоит в том, что

1.4. Исчисление высказываний гильбертовского типа

Исчисление высказываний, построенное в § 1.1, называется генценовским. Рассмотрим ещё одну формализацию исчисления высказываний. Она была предложена Д.Гильбертом и включает 11 схем аксиом и 1 правило вывода (напомним, что в генценовском ИВ 1 схема аксиом и 12 правил вывода).

В гильбертовском ИВ определение формулы то же, что в генценовском. Мы пока не вводим здесь секвенции и говорим о выводимости (доказуемости) самой формулы. По определению выводимыми являются аксиомы и те формулы, которые получаются из аксиом и уже доказанных формул с помощью единственного правила вывода. Приведём схемы аксиом и правило вывода.

Схемы аксиом гильбертовского ив

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

Исчисление, использующее аксиомы (1)-(11), называется классическим исчислением высказываний (сокращённо: ИВ), аксиомы (1)-(10) определяют интуиционистское исчисление высказываний (кратко: ИИВ).