Правило вывода

Это правило называется modus ponens (кратко: MP). Оно позволяет заявить о выводимости формулы если ранее были выведеныи

Последовательность формул называетсявыводом, если каждое – либо аксиома, либо получается из каких-либо двух формул изприменением правила вывода. Формуланазываетсявыводимой (или доказуемой), если существует вывод гдеДоказуемые формулы называются такжетеоремами. Приведём примеры выводов. Как обычно, внешние скобки в формулах мы будем часто опускать.

Пример 1. Вывод формулы

1. 

(аксиома 2 при

2. (аксиома 1);

3. (из (1) и (2) по modus ponens);

4. (аксиома 1);

5. (из (3) и (4) по modus ponens).

Пример 2. Вывод формулы

(1)-(5) — вывод формулы (см. пример 1);

6. (аксиома 8);

7. (из (5) и (6) по MP);

8. (из (5) и (7) по MP).

Секвенции, квазивывод

Пусть – совокупность формул ИВ (возможно, пустая). Последовательность формулгденазываетсяквазивыводом (формулы если каждое– либо аксиома, либо формула излибо получается из предшествующих формул по правилу modus ponens. Если для формулысуществует квазивывод из формулто мы говорим, что формулавыводится изи пишемЗаписьестественно назвать секвенцией.

Квазивывод можно интерпретировать так: мы добавляем к списку аксиом формулы некоторой совокупности и осуществляем вывод нашей формулы из“расширенного” списка аксиом.

Лемма о дедукции. Пусть – совокупность формул, аи– формулы. Тогдав том и только том случае, если

Доказательство. Необходимость. Пусть существует квазивывод формулы из формул совокупностиЗдесь каждое– либо аксиома, либо формула излибо получается из предшествующих формул по MP. Нам надо получить квазивывод формулыизЗначит, можно использовать формулуПродолжим приведённый ранее квазивывод:Это будет квазивывод формулыиздействительно,аполучается изипо MP.

Достаточность. Пусть есть квазивывод гдеа каждоеудовлетворяет одному из условий:

(а) – аксиома;

(б)

(в)

(г) получается из предыдущих по MP.

Рассмотрим последовательность формул

. . . ,

Последняя формула совпадает с формулой для которой надо написать квазивывод. Но последовательностьв общем случае не является квазивыводом. Мы её будем“исправлять”, двигаясь слева направо и вставляя перед формулой ряд формул так, чтобы получился квазивывод.

Предположим, что формулы . . . ,уже просмотрены и недостающие до квазивывода формулы вставлены. Рассмотрим формулу

Случай (а): – аксиома. Тогдазаменяем последовательностьюв которой первая и вторая формулы – аксиомы, а третья получена из них поmodus ponens.

Случай (б): – формула изВ этом случае делаем то же самое:Теперь первая формула – не аксиома, а элемент изчто допустимо.

Случай (в): В этом случае скобкаимеет видВставляем перед ней 4 формулы, которые вместе ссоставляют вывод формулы(см. пример 1).

Случай (г): получается из предыдущих по правилу вывода. В этом случае среди формулесть формулыиОчевидно,при некоторомЗначит, в последовательностиуже встречались формулыиФормулузаменяем последовательностью формул

(аксиома);

(получается по MP);

(получается по MP).

Применим лемму о дедукции к доказательству выводимости формул.

Пример 3. Доказать выводимость формулы

Решение. По лемме о дедукции

выводима

Последняя секвенция имеет квазивывод (двукратное применениеMP).

Пример 4. Чтобы осуществить связь между генценовским и гильбертовским исчислениями высказываний, докажем правило вывода № 1:

Решение. По условию есть квазивывод и квазивыводгде каждоеили– либо аксиома, либо элемент излибо получается поMP. Добавим аксиому и получим квазивывод

Пример 5. Докажем правило Это правило называется“разбор случаев” (здесь – первый случай,– второй).

Решение. По лемме о дедукции мы можем считать, что существует квазивывод и квазивыводОбъединим их:

Продолжим эту последовательность до квазивывода

Добавим аксиому

Применим modus ponens:

Ещё раз modus ponens:

Добавим формулу

Применим modus ponens, получим

Таким образом у нас получился квазивывод формулы изи

Пример 6. Докажем правило

Решение. Напишем квазивывод формул ииз

Затем добавим три формулы: (аксиома),(из двух последних по MP),(из последнего и четвёртого от конца по MP).

Пример 7. Докажем правило

Решение. По лемме о дедукции имеем: иНапишем аксиому (10):Так как извыводимото поmodus ponens будет По условиюСнова применяяmodus ponens, получим:

Приведём несколько формул, доказательство которых не использует закон исключённого третьего, т.е. аксиому (11).

(а)

Доказательство. По лемме о дедукции достаточно доказать, что

Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что

и

Так как идоказываются аналогично, то будем доказывать толькоПо лемме о дедукцииравносильно следующему:Добавив к этой последовательности аксиому (6), получим квазивывод формулыизи

(b)

Доказательство. Из аксиом ипо принципу разбора случаев приполучим:

Так как итоАналогичноПо принципу разбора случаев (приполучим:

Из иполучаем:Отсюда по лемме о дедукции получим(b).

(c) (закон контрапозиции).

Доказательство. По лемме о дедукции (применённой дважды) получим, что доказательство утверждения (с) сводится к доказательству утверждения Так какито по правилу из примера 7 получаем:

(d)

Доказательство. Очевидно, и Отсюда по правилу из примера 7 получаема значит, по лемме о дедукции будем иметь

Оказывается, формулы, обратные к формулам (с) и (d), невозможно доказать без использования закона исключённого третьего, т.е. формулы иневыводимы в ИИВ (интуиционистском исчислении высказываний). Докажем эти формулы в классическом ИВ, т.е. пользуясь аксиомой (11).

(е)

Доказательство. По лемме о дедукции достаточно доказать, что Так как– аксиома, то нам теперь достаточно получитьПо принципу разбора случаев для этого достаточно доказатьиПервое соотношение очевидно, а второе доказывается так: изипо правилуmodus ponens получаем а, имеяипо правилу из примера 6 получаем

(f)

Доказательство. Так как мы можем использовать аксиому (11), нам достаточно доказать, что По принципу разбора случаев достаточно доказать, чтоиПервое соотношение очевидно, а второе следует из правила, полученного в примере 6.

Следующая теорема показывает, что в списке аксиом классического исчисления высказываний аксиома (10) () является лишней, так как следует из остальных аксиом. В этой теореме существенно, что мы можем пользоваться аксиомой (11) – законом исключённого третьего. В интуиционистской логике аксиома (10) лишней не является.

Теорема. Аксиома (10) следует из аксиом (1)-(9), (11).

Доказательство. По лемме о дедукции достаточно доказать, что Так как– аксиома, то утверждение сводится к доказательству секвенцииПо принципу разбора случаев достаточно установить, что

и

По правилу МР имеем: иНапишем аксиому (9):Тогда последовательность

будет квазивыводом формулы изчто доказывает секвенциюСеквенцияочевидна.