1.3. Полнота, непротиворечивость, разрешимость исчисления высказываний

Исчисление называется противоречивым, если существует формула такая, что в этом исчислении доказуемы обе формулыиЕсли такой формулы нет, то исчисление называетсянепротиворечивым. Здесь под доказуемостью формулы понимается доказуемость секвенцииНиже мы убедимся в том, что построенное нами исчисление высказываний является непротиворечивым. Затем мы обсудим вопросыполноты и разрешимости ИВ.

Семантика и синтаксис

В формальной математической теории действия, производимые над рассматриваемыми объектами в рамках самой теории, составляют синтаксис теории. Вопросы, выходящие за рамки формальной теории (например, интерпретация рассматриваемых понятий, “придание смысла” некоторым из них и т.д.), составляют семантику этой теории. В частности, формулы, секвенции, правила вывода, формальные доказательства – это синтаксис ИВ. Далее мы рассмотрим ряд семантических понятий.

Интерпретации ив

Пусть – непустое множество,– множество всех его подмножеств. Пусть– множество всех формул ИВ,– множество всех атомарных формул, а– множество всех секвенций. Рассмотрим произвольное отображениеПродолжим его до отображенияа затем распространим на секвенции, построив отображениеПродолжениес атомарных формул на произвольные построим индуктивно: а именно, еслииуже построены, то полагаем:Итак, каждой формулеисчисления высказываний ставится в соответствие подмножествомножестваСеквенциям ИВ будем ставить в соответствие некоторыеутверждения о подмножествах множества А именно:

1. 

2. 

3. 

4. 

В вышеприведённых определениях принято следующее соглашение: если (т.е.тоОтметим, что так как множествопредполагается непустым, толожно (при любой интерпретации).

Проверим, что аксиомам в данной интерпретации будут поставлены в соответствие истинные утверждения, а применение правил вывода истинность утверждений не нарушает. В самом деле, аксиомы имеют вид поэтомуа это утверждение истинно. Для правил вывода сделаем выборочную проверку. Докажем, что если числителю правила вывода поставлены в соответствие истинные утверждения (о подмножествах множествато знаменателю также будет поставлено в соответствие истинное утверждение. В качестве примера возьмём правила 1 и 6.

Правило 1: ПустьЕслито мы имеем:иНо тогдаа это означает, чтоистинно.

Правило 6: ПустьПоложим(приввиду наших соглашенийПо условиюиОтсюда получаем

Теорема 1. Исчисление высказываний непротиворечиво.

Доказательство. Предположим, что для какой-либо формулы доказуемы секвенциииРассмотрим какую-либо интерпретациюисчисления высказываний в множествеТак как для аксиомутверждениеистинно и применение правил вывода не нарушает истинности секвенций, то для всех выводимых (т.е. доказуемых) секвенцийутверждениетакже истинно. Значит,ПоэтомуНоследовательно,что неверно. Таким образом, ИВ непротиворечиво.

Рассмотрим теперь главную интерпретацию ИВ. Это будет отображение где– множество всех формул, а– множество всех секвенций. Для атомарных формулзначениявыберем произвольным образом. На остальные формулы отображениераспространим по обычным правилам:гдеОтображениеможно рассматривать как присвоение значений истинности (“истина” или “ложь”) пропозициональным переменным. После того, как такое присвоение произошло, можно говорить об истинности или ложности других формул. Истинность или ложность секвенций определяется следующим образом:

1. либо при некоторомлибо

2. 

3. 

4. 

Сформулируем теперь то же самое другими словами. Пусть – формула ИВ, зависящая от пропозициональных переменных (атомарных формул)а– набор из 0 и 1. Будем говорить, чтоформула истинна на наборе еслипри. . . ,Пусть дана секвенцияи– пропозициональные переменные, входящие в какие-либо из формулсеквенцияистинна на наборе из 0 и 1, если на этом наборе либо хотя бы одно изложно, либоистинно. Далее, секвенцияистинна на наборе если хотя бы одна из формулна этом наборе ложна. Секвенцияистинна на данном наборе, если на этом наборе истинна. Наконец, секвенциясчитаетсяложной на любом наборе.

Отметим, что главная интерпретация является частным случаем интерпретации, рассмотренной ранее. Действительно, пусть состоит из одного элемента. ТогдаСчитаем для формулыеслииеслиНепосредственно проверяется, что получится главная интерпретация.

Формула (соотв., секвенцияназываетсятождественно истинной, если она истинна на любом наборе значений истинности пропозициональных переменных. Нетрудно видеть, что тождественная истинность формулы

равносильна тождественной истинности секвенции

Лемма 1. Секвенция истинна на наборев том и только том случае, если секвенцияистинна на этом наборе.

Доказательство. Пусть истинна на набореТогда выполняется хотя бы одно из условий: 1) хотя бы одна из формул множестваложна на этом наборе; 2) формулаложна на этом наборе; 3) формулаистинна на этом наборе. Разберём эти случаи отдельно. 1) Если какая-нибудь формула изложна, тоистинна, а значит,истинна. 2) Еслиложна, тоистинна, поэтомуистинна. 3) Еслиистинна, тоистинна, а значит,также истинна. Обратное утверждение доказывается аналогичным образом.

Следствие. Секвенция тождественно истинна в том и только том случае, если секвенциятождественно истинна.

Лемма 2. Секвенция доказуема в том и только том случае, если секвенциядоказуема.

Доказательство. Если секвенция имеет доказательство, то по правилу 7 это доказательство можно продолжить и получитьНаоборот, если доказана секвенциято из неё по правилу 12 получимУчитывая легко доказываемый фактто по правилу 8 получим

Лемма 3. а) Если секвенция доказуема, то она тождественно истинна; б) если формуладоказуема, то она тождественно истинна.

Доказательство. Нетрудно проверить, что аксиомы являются тождественно истинными секвенциями. Также легко проверяется, что применение правил вывода эту тождественную истинность не нарушает. Значит, любая выводимая (доказуемая) секвенция тождественно истинна. Утверждение, касающееся формул, сводится к уже доказанному для секвенций.

Лемма 4. Если формулы иэквивалентны, то булевы функцииисовпадают.

Доказательство. Можно считать, что формулы изависят от одних и тех же пропозициональных переменных(переменные, которые не входят в формулу, считаем входящими фиктивно). По условиюи– доказуемые секвенции. По лемме 3 они тождественно истинны. Если на каком-либо набореформулаистинна, то так как секвенцияистинна, тона этом наборе тоже истинна. Аналогично доказывается, что еслиистинна на наборетотакже истинна на этом наборе. Итак,иистинны на одних и тех же наборах, значит,

Для формулы обозначим черезмножество наборовна которых она истинна.

Замечание. Лемма 4 на самом деле является следствием более общего результата: если для некоторых формул исеквенциядоказуема, то

Теорема 2 (о функциональной полноте ИВ). Пусть в исчислении высказываний бесконечно много атомарных формул. Тогда для любой булевой функции существует формулаисчисления высказываний, зависящая от атомарных формултакая, что

Доказательство. Если тождественно равна 0, то в качестве формулыможно взятьЕсли жето, как известно из курса дискретной математики,представима в совершенной дизъюнктивной нормальной форме:

Следовательно, в качестве формулы исчисления высказываний подойдёт формула

Из леммы 3 мы видели, что доказуемыми могут быть только тождественно истинные формулы или секвенции. Оказывается (и это мы докажем в следующей теореме), что верно и обратное: тождественно истинная формула или секвенция имеет формальное доказательство в ИВ. Этот факт мы будем называть полнотой исчисления высказываний. В конце главы будет рассмотрено интуиционистское исчисление высказываний, которое не обладает свойством полноты.

Теорема 3 (о полноте ИВ).

(а) Формула исчисления высказываний доказуема тогда и только тогда, когда она тождественно истинна;

(б) секвенция ИВ доказуема тогда и только тогда, когда она тождественно истинна.

Доказательство. Ввиду леммы 2 и следствия из леммы 1 доказуемости (соотв., тождественные истинности) следующих секвенций эквивалентны: . . . Таким образом можно “перебросить” все формулы, стоящие слева от значкав правую часть и получить секвенцию видадля которой доказуемость (соотв., тождественная истинность) равносильна доказуемости (соотв,. Тождественной истинности) формулы(по определению). Следовательно, нам надо доказывать только утверждение (а).

Ввиду леммы 3 нам следует доказать лишь достаточность: если формула тождественно истинна, то она доказуема. Пусть– тождественно истинная формула. По теореме 2 предыдущего раздела существует формулатакая, что

Положим . . . ,Так както по лемме 4тождественно истинна. Но это означает, что формулытождественно истинны. Рассмотрим какую-нибудь одну из них, например,Если всеразличны, тоне будет тождественно истинной, так как обращается в 0 на таком наборе, гдеЗначит, вкакая-либо пропозициональная переменная (скажем,встречается вместе со своим отрицанием. Следовательно,можно преобразовать:Секвенциядоказуема по лемме 4 §1.1. По правилу вывода № 4 получим, что секвенциядоказуема. Значит, формуладоказуема. Аналогично получим, что формулыдоказуемы. По правилу 1 получим, что формуладоказуема. Следовательно, формулаа значит, и формуладоказуема.

Докажем теперь разрешимость исчисления высказываний. Под разрешимостью мы понимаем существование алгоритма, который по данной формуле (или секвенцииопределяет, доказуема эта формула (или секвенция) или нет. Такой алгоритм действительно существует.

Теорема 4. Исчисление высказываний разрешимо.

Доказательство. По теореме 3 проверка доказуемости формулы или секвенции сводится к проверке её тождественной истинности. Алгоритм такой проверки очевиден: надо придавать пропозициональным переменным входящим в рассматриваемые формулы, всевозможные значения(из множестваи определять по таблицам истинности значение формулы(соотв., секвенцииЕсли на любом наборе будем иметь(соотв.,то(соотв.,тождественно истинна, а значит, доказуема, в противном случае(илинедоказуема.

Замечание. Допустим, формула тождественно истинна, в чём мы убедились, применив алгоритм, изложенный в теореме 4. Тогдаимеет доказательство. На самом делеможно построить алгоритм, выписывающий это доказательство (т.е. доказательство секвенции Алгоритм достаточно громоздкий, так как включает в себя (в качестве “подпрограмм”) доказательства утвержденийи многих других: ведь мы приводим формулук видудоказываем формулузатем продолжаем доказательство, пока не будет доказана формула