Направленный вперед явный метод Эйлера

В простейшем случае можно представить решение системы уравнений химической кинетики как первые два члена в разложении в ряд Тейлора:

Этот метод является одношаговым явным методом первого порядка точности. Если скорость фотохимического изменения разбить на продукцию и разрушение, то можно представить этот метод в виде

Преимуществом данного метода является простота реализации, т.к. в правой части стоят только величины явно известные на момент начала шага по времени, кроме того, этот метод является консервативным, т.е. обеспечивает сохранение суммарной массы, т.к. все параметры вычисляются в один и тот же момент времени. Однако этот метод требует очень маленьких шагов по времени, чтобы обеспечить устойчивость.

Если рассмотреть одну газовую компоненту, которая может только разрушаться с постоянной положительной скоростью , то для такой задачи существует аналитическое решение

Это означает, что на каждом следующем шаге концентрация этого газа должна быть меньше концентрации на предыдущем шаге, т.е. .

Если применить для этой задачи явный метод Эйлера, то получим решение

Из условия устойчивости ограничение на шаг по времени составляет

А из условия положительности решения ограничение на шаг по времени еще меньше

Таким образом, для больших значений шаг по времени должен быть очень маленьким. Если вернуться к системе уравнений, то функциюусловно может играть, т.е. величина, обратная времени жизни. Соответственно, для вычисления эволюции долгоживущих газов нужно делать количество шагов соизмеримых с коэффициентом жесткости системы.

Неявный метод Эйлера

Если выразить скорость фотохимического изменения рассчитываемых газов через их концентрации в момент времени , то мы получим чисто неявный одношаговый, направленный назад метод решения задачи химической кинетики

Для этого метода характерна безусловная устойчивость, т.к. если мы рассмотрим ту же задачу с одним разрушающимся газом, то его концентрация в момент времени будет вычисляться по формуле

Для этой формулы при любых и положительныхотношениеи, кроме того, решение будет всегда положительным. Поэтому теоретически величину шага можно выбирать из условий точности, а не устойчивости. Однако, если вернуться к общему случаю системы уравнений химической кинетики, то в правую часть системы входят величины, которые надо вычислить, т.е. неизвестные явно к началу вычислений, поэтому этот метод называется неявным. Таким образом, получается системауравнений для определениянеизвестных. Кроме того, эта система является нелинейной, т.к. в правой части присутствуют произведения вычисляемых неизвестных переменных. Для решения подобных систем используются методы линеаризации и итераций.

Одним из возможных итерационных методов линеаризации является метод Ньютона-Рафсона, применение которого к системе уравнений химической кинетики приводит к следующей линеаризации скорости химического изменения для каждой реакции

В результате имеем алгебраическую систему линейных уравнений. Однако при однократном применении этого метода может нарушаться сохранение массы, поэтому необходимо применять итерации, приближая линеаризованное решение к неявному нелинейному представлению:

Где - это номер итерации. Итерации прекращаются, когда различие междуистановится меньше заранее определенного значения для всех рассматриваемыхгазов.

Получившаяся система линейных уравнений как правило является плохо обусловленной и требует обращения матрицы размера , что для большого количества газов и большого количества узлов приводит к громоздким вычислениям.