Индивидуальное задание №4.МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Ю.Б.Ржонсницкая
..pdfИндивидуальное задание No4 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Ю.Б.Ржонсницкая
Российский Государственный Гидрометеорологический Университет
ЗАДАЧА:
Функция f(x) задана таблицей значений: f(xi) = yi
1 Построить Уравнение линейной регрессии. В виде ответа представить:
расчетную таблицу, систему линейных уравнений и уравнение регрессии
среднеквадратичное отклонение (a; b)
совместный график табличной функции и линейной регрессии.
2Построить Уравнение квадратичной регрессии. В виде ответа представить:
расчетную таблицу, систему линейных уравнений и уравнение регрессии
среднеквадратичное отклонение (a; b; )
совместный график табличной функции и квадратичной регрессии.
3Построить ортогональную систему полиномов на сетке x0; x1; :::; xn: Составить уравнение кубической регрессии. Построить график.
(РГГМУ) |
|
2 / 11 |
Линейная регрессия:
xi |
0:82 |
0:93 |
1:72 |
1:91 |
2:15 |
2:22 |
yi |
3:8 |
1:62 |
2:77 |
4:9 |
1:48 |
5:24 |
Таблица для составления системы лин. уравнений:
|
xi |
yi |
|
xi2 |
|
xiyi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0:82 |
3:8 |
|
0:6724 |
3:116 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0:93 |
1:62 |
0:8649 |
1:5066 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1:72 |
2:77 |
2:9584 |
4:7644 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1:91 |
4:9 |
|
3:6481 |
9:359 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2:15 |
1:48 |
4:6225 |
3:182 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2:22 |
5:24 |
4:9284 |
11:6328 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
9:75 |
19:81 |
17:6947 |
33:5608 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|{z}s1 |
| {zg0 |
} |
| {zs2 |
} |
| {zg1 |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(РГГМУ) |
|
|
|
|
|
|
|
3 / 11 |
Линейная регрессия:
Система лин. уравнений для линейной регрессии:
6 9:75 19:81
9:75 17:69 33:56
Решение:
a = 0:73
b = 2:09
Среднеквадратичное отклонение:
5
X
(a; b) = (f(xi) (0:73xi + 2:09))2 = 11:97
i=0 |
|
|
|
|
|
||
(a; b) = v |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
(f(xi) |
|
(0:73xi + 2:09))2 |
= 1:41 |
|
u |
6 |
X |
|
|
|
||
u |
|
|
|
|
|
t
(РГГМУ) |
i=0 |
4 / 11 |
Линейная регрессия: |
|
|
|
|
|
||
График y = 0:73x + 2:09 и yi: |
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0.8 |
1.0 |
1.2 |
1.4 |
1.6 |
1.8 |
2.0 |
2.2 |
(РГГМУ) |
|
|
|
|
|
|
5 / 11 |
Квадратичная регрессия:
|
|
|
xi |
|
0:82 |
0:93 |
1:72 |
1:91 |
2:15 |
2:22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
yi |
|
3:8 |
1:62 |
2:77 |
4:9 |
1:48 |
5:24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таблица для составления системы лин. уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
xi |
yi |
|
|
xi2 |
xi3 |
xi4 |
|
xiyi |
|
xi2yi |
|
||||||||||||||||||||
|
0:82 |
3:8 |
|
0:6724 |
|
0:551368 |
0:452122 |
3:116 |
|
|
|
|
2:55512 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
0:93 |
1:62 |
|
0:8649 |
|
0:804357 |
0:748052 |
1:5066 |
|
|
|
|
1:40114 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
1:72 |
2:77 |
|
2:9584 |
|
5:08845 |
8:75213 |
4:7644 |
|
|
|
|
8:19477 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
1:91 |
4:9 |
|
3:6481 |
|
6:96787 |
13:3086 |
9:359 |
|
|
|
|
17:8757 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
2:15 |
1:48 |
|
4:6225 |
|
9:93838 |
21:3675 |
3:182 |
|
|
|
|
6:8413 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2:22 |
5:24 |
|
4:9284 |
|
10:941 |
24:2891 |
11:6328 |
|
|
25:8248 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
9:75 |
19:81 |
|
17:6947 |
34:2915 |
68:9176 |
33:5608 |
|
|
62:6928 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(РГГМУ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 / 11 |
Квадратичная регрессия:
Система лин. уравнений для квадратичной регрессии: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
9:75 |
17:69 |
34:29 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
33:56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
@ |
|
6 |
9:75 |
|
17:69 |
19:81 |
A |
|
|
|||||||||||||||||
17:69 |
34:29 |
68:91 |
62:69 |
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = 0:006; b = 0:75; |
c = 2:06 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
y = 0:006x2 + 0:75x + 2:06 |
(почти линейная функция) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Среднеквадратичное отклонение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(a; b) = |
|
|
(f(xi) (0:73xi + 2:09))2 = 11:97 |
|
|
|||||||||||||||||||||
(a; b) = v |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 5 |
(f(xi) |
|
(0:73xi + 2:09))2 = 1:41 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
6 i=0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(РГГМУ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 / 11 |
Квадратичная регрессия: |
|
|
|
|
|||
График y = 0:006x2 + 0:75x + 2:06 и yi: |
|
|
|
||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0.8 |
1.0 |
1.2 |
1.4 |
1.6 |
1.8 |
2.0 |
2.2 |
(РГГМУ) |
|
|
|
|
|
|
8 / 11 |
Кубическая регрессия. Процесс ортогонализации Грама– Шмидта:
xi |
0:82 |
0:93 |
1:72 |
1:91 |
2:15 |
2:22 |
yi |
3:092 |
3:509 |
8:097 |
9:678 |
11:979 |
12:716 |
f0(x) = g0(x) = 1;
(РГГМУ) |
|
9 / 11 |
Кубическая регрессия. Процесс ортогонализации Грама– Шмидта:
|
xi |
0:82 |
0:93 |
1:72 |
1:91 |
2:15 |
2:22 |
||||
|
yi |
3:092 |
3:509 |
|
8:097 |
9:678 |
11:979 |
12:716 |
|||
|
|
|
|
g0(x) |
1 |
|
|
|
|
||
f0(x) = g0(x) = 1; '0(x) = |
|
= p |
|
|
|
|
|||||
kg0(x)k |
|
|
|||||||||
6 |
|
|
(РГГМУ) |
|
9 / 11 |