Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
4. Основные понятия алгебры логики.docx
Скачиваний:
83
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
63.8 Кб
Скачать

8

4. Основные понятия алгебры логики

Алгебра логики(булева алгебра) изучает высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.

Основным предметом алгебры логики являются высказывания.

Под высказыванием понимается имеющее смысл языковое выражение, относительно которого можно утверждать, что оно либо истинно, либо ложно.

Пример:

  • «5 есть простое число». Это высказыванием является истинным.

  • «4+х=6». Это уравнение не является высказыванием. Однако, придавая переменной х определенное числовое значение, получим высказывание.

  • «роза – цветок». Это высказывание является истинным.

  • «все углы – прямые». Это высказывание является ложным.

  • «3+5=9». Это высказывание является ложным.

Истинностные значения новых высказываний определяются при этом только истинностными значениями входящих в них высказываний. Построение из данных высказываний (или из данного высказывания) нового высказывания называется логической операцией. Знаки логических операций называютсялогическими связками.

Пример:

  • Из высказываний «х>2», «х<3» при помощи связки иможно получить высказывание «x>2 и х<3»;

  • из высказываний «у>10», «х<3» при помощи связки илиможно получить высказывание «у>10 или х<3»;

Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.

Одной из основных операций алгебры логики является операция отрицания. Отрицание высказывания А (т.е. не А) обозначаетсяи читается: «отрицание А», «не А» или «А с чертой».

В таблице 1.2 приведены основные бинарные логические операции и связки.

Таблица 1.2

Основные бинарные логические операции и связки

Обозначение логической операции

Другие обозначения

логической операции

Название логической операции и связки

Логические связки

А

отрицание

инверсия

не А

АВ

А&В

АВ

АВ

конъюнкция, логическое умножение,

логическое «и»

А иВ

АВ

А+В

дизъюнкция, логическое сложение,

логическое «или»

А илиВ

АВ

АВ

АВ

импликация, логическое следование

еслиА,тоВ;

АВ

АВ

сумма по модулю 2,разделительная дизъюнкция, исключающее «или»

либоА,либоВ

А~В

АВ

АВ

АВ

эквиваленция, тождественность

равнозначность

А тогда и только тогда, когдаВ;

АВ

штрих Шеффера, антиконъюнкция

неверно, чтоАиВ;

АВ

стрелка Пирса, антидизъюнкция,

ниА,ни В;

Примечание:АиВявляются высказываниями.

Инверсия

Пример: Дано высказываниеА=<Киев-столица Франции>.

Тогда не АнеКиев-столица Франции». Высказываниене Аозначает – не верно, что А, т.е. не верно, что <Киев-столица Франции>.

Конъюнкция

Результатом операции конъюнкции для высказывания АВбудет истина только тогда, когда истинны одновременно оба высказывания.

Пример: Даны высказыванияА=«Москва – столица России» иВ=«Рим – столица Италии».

Сложное высказывание АВ=«Москва – столица РоссиииРим – столица Италии» истинно, так как истинны оба высказывания.

Дизъюнкция

Результатом операции дизъюнкции для высказыванияАВбудет истина тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него.

Пример: Даны высказыванияА=«2+3=5» иВ=«3+3=5».

Сложное высказывание АВ=«2+3=5или3+3=5» истинно, так как истинно высказываниеА.

Эквиваленция

Результатом операции эквиваленции для высказыванияА~Вбудет истина тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания. Отличие эквиваленции от конъюнкции состоит в том, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания.

Пример: Даны высказыванияА=«2+2=7» иВ=«1–8=5».

Сложное высказывание А~В=«2+2=7тогда и только тогда, когда1–8=5» истинно, так как оба высказывания ложны.

Импликация

Результатом операции импликации для высказыванияАВбудет ложь только тогда, когда первое высказывание (А) истинно, а второе (В) ложно. При этомА– предпосылка, аВ– следствие. В остальных случаях результатом операции всегда будет истина.

Пример: Даны высказыванияА=«2+2=4» иВ=«1–8=5».

Сложное высказывание АВесли2+2=4,то1–8=5» ложно, так как высказывание А истинно, а В – ложно.

Антиконъюнкция

Результатом операции антиконъюнкции для высказывания АВбудет ложь только тогда, когда оба высказывания истинны. В остальных случаях результатом операции всегда будет истина.

Пример: Даны высказыванияА=«Москва – столица России» иВ=«Рим – столица Италии».

Сложное высказывание АВневерно, чтоМосква–столица РоссиииРим–столица Италии» ложно, так как истинны оба высказывания.

Антидизъюнкция

Результатом операции антидизъюнкции для высказывания АВбудет истина только тогда, когда оба высказывания ложны. В остальных случаях результатом операции всегда будет ложь.

Пример: Даны высказыванияА=«Рим – столица России» иВ=«Москва – столица Италии».

Сложное высказывание АВниРим–столица России,ниМосква–столица Италии» истинно, так как ложны оба высказывания.

Связки и частица «не» рассматриваются в алгебре логики как операции над величинами, принимающими значения 0 (ложь/false) и 1(истина/true), и результатом применения этих операций также являются числа 0 или 1.

В алгебре логики логические операции чаще всего описываются при помощи таблиц истинности.

В таблице 1.3 представлена таблица истинности для операции отрицания(инверсия).

Таблица истинности для операции «отрицания»

Таблица 1.3

А

неА

0

1

1

0

Пример: Дана переменнаяА=1 (истина). После применения операции инверсии для переменнойАее значение станет равным0 (ложь).

В таблице 1.4 представлены все наборы значений переменных АиВи значения операций на этих наборах.

Таблица истинности для основных бинарных логических операций

Таблица 1.4

А

В

~

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

Пример: Даны высказыванияА=«Москва–столица России» иВ=«Рим–столица Италии». СледовательноА=1 (истина) иВ=1.

Чтобы определить значение операции АВ для данных высказываний, необходимо:

  • в таблице 1.4. в столбцах с именами АиВнайти строку дляА=1 иВ=1;

  • затем найти пересечение этой строки со столбцом с именем ;

  • получим АВ=1.

А

В

~

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

Пример: Даны высказыванияА=«2+3=5» иВ=«3+3=5». ТогдаА=1 иВ=0.

Высказывание АВ=1.

А

В

~

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

Пример: Даны высказыванияА=«2+2=4» иВ=«1–8=5». Тогда А=1 и В=0.

Высказывание А~В=0.

А

В

~

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0