8

4. Основные понятия алгебры логики

Алгебра логики(булева алгебра) изучает высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.

Основным предметом алгебры логики являются высказывания.

Под высказыванием понимается имеющее смысл языковое выражение, относительно которого можно утверждать, что оно либо истинно, либо ложно.

Пример:

• «5 есть простое число». Это высказыванием является истинным.

• «4+х=6». Это уравнение не является высказыванием. Однако, придавая переменной х определенное числовое значение, получим высказывание.

• «роза – цветок». Это высказывание является истинным.

• «все углы – прямые». Это высказывание является ложным.

• «3+5=9». Это высказывание является ложным.

Истинностные значения новых высказываний определяются при этом только истинностными значениями входящих в них высказываний. Построение из данных высказываний (или из данного высказывания) нового высказывания называется логической операцией. Знаки логических операций называютсялогическими связками.

Пример:

• Из высказываний «х>2», «х<3» при помощи связки иможно получить высказывание «x>2 и х<3»;

• из высказываний «у>10», «х<3» при помощи связки илиможно получить высказывание «у>10 или х<3»;

Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.

Одной из основных операций алгебры логики является операция отрицания. Отрицание высказывания А (т.е. не А) обозначаетсяи читается: «отрицание А», «не А» или «А с чертой».

В таблице 1.2 приведены основные бинарные логические операции и связки.

Таблица 1.2

Основные бинарные логические операции и связки

Обозначение логической операции	Другие обозначения логической операции	Название логической операции и связки	Логические связки
	А	отрицание инверсия	не А
АВ	А&В АВ АВ	конъюнкция, логическое умножение, логическое «и»	А иВ
АВ	А+В	дизъюнкция, логическое сложение, логическое «или»	А илиВ
АВ	АВ АВ	импликация, логическое следование	еслиА,тоВ;
АВ	АВ	сумма по модулю 2,разделительная дизъюнкция, исключающее «или»	либоА,либоВ
А~В	АВ АВ АВ	эквиваленция, тождественность равнозначность	А тогда и только тогда, когдаВ;
АВ		штрих Шеффера, антиконъюнкция	неверно, чтоАиВ;
АВ		стрелка Пирса, антидизъюнкция,	ниА,ни В;

Примечание:АиВявляются высказываниями.

Инверсия

Пример: Дано высказываниеА=<Киев-столица Франции>.

Тогда не А=«неКиев-столица Франции». Высказываниене Аозначает – не верно, что А, т.е. не верно, что <Киев-столица Франции>.

Конъюнкция

Результатом операции конъюнкции для высказывания АВбудет истина только тогда, когда истинны одновременно оба высказывания.

Пример: Даны высказыванияА=«Москва – столица России» иВ=«Рим – столица Италии».

Сложное высказывание АВ=«Москва – столица РоссиииРим – столица Италии» истинно, так как истинны оба высказывания.

Дизъюнкция

Результатом операции дизъюнкции для высказыванияАВбудет истина тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него.

Пример: Даны высказыванияА=«2+3=5» иВ=«3+3=5».

Сложное высказывание АВ=«2+3=5или3+3=5» истинно, так как истинно высказываниеА.

Эквиваленция

Результатом операции эквиваленции для высказыванияА~Вбудет истина тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания. Отличие эквиваленции от конъюнкции состоит в том, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания.

Пример: Даны высказыванияА=«2+2=7» иВ=«1–8=5».

Сложное высказывание А~В=«2+2=7тогда и только тогда, когда1–8=5» истинно, так как оба высказывания ложны.

Импликация

Результатом операции импликации для высказыванияАВбудет ложь только тогда, когда первое высказывание (А) истинно, а второе (В) ложно. При этомА– предпосылка, аВ– следствие. В остальных случаях результатом операции всегда будет истина.

Пример: Даны высказыванияА=«2+2=4» иВ=«1–8=5».

Сложное высказывание АВ=«если2+2=4,то1–8=5» ложно, так как высказывание А истинно, а В – ложно.

Антиконъюнкция

Результатом операции антиконъюнкции для высказывания АВбудет ложь только тогда, когда оба высказывания истинны. В остальных случаях результатом операции всегда будет истина.

Пример: Даны высказыванияА=«Москва – столица России» иВ=«Рим – столица Италии».

Сложное высказывание АВ=«неверно, чтоМосква–столица РоссиииРим–столица Италии» ложно, так как истинны оба высказывания.

Антидизъюнкция

Результатом операции антидизъюнкции для высказывания АВбудет истина только тогда, когда оба высказывания ложны. В остальных случаях результатом операции всегда будет ложь.

Пример: Даны высказыванияА=«Рим – столица России» иВ=«Москва – столица Италии».

Сложное высказывание АВ=«ниРим–столица России,ниМосква–столица Италии» истинно, так как ложны оба высказывания.

Связки и частица «не» рассматриваются в алгебре логики как операции над величинами, принимающими значения 0 (ложь/false) и 1(истина/true), и результатом применения этих операций также являются числа 0 или 1.

В алгебре логики логические операции чаще всего описываются при помощи таблиц истинности.

В таблице 1.3 представлена таблица истинности для операции отрицания(инверсия).

Таблица истинности для операции «отрицания»

Таблица 1.3

А	неА
0	1
1	0

Пример: Дана переменнаяА=1 (истина). После применения операции инверсии для переменнойАее значение станет равным0 (ложь).

В таблице 1.4 представлены все наборы значений переменных АиВи значения операций на этих наборах.

Таблица истинности для основных бинарных логических операций

Таблица 1.4

А	В					~		
0	0	0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0	1	0
1	0	0	1	0	1	0	1	0
1	1	1	1	1	0	1	0	0

Пример: Даны высказыванияА=«Москва–столица России» иВ=«Рим–столица Италии». СледовательноА=1 (истина) иВ=1.

Чтобы определить значение операции АВ для данных высказываний, необходимо:

• в таблице 1.4. в столбцах с именами АиВнайти строку дляА=1 иВ=1;

• затем найти пересечение этой строки со столбцом с именем ;

• получим АВ=1.

А	В					~		
0	0	0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0	1	0
1	0	0	1	0	1	0	1	0
1	1	1	1	1	0	1	0	0

Пример: Даны высказыванияА=«2+3=5» иВ=«3+3=5». ТогдаА=1 иВ=0.

Высказывание АВ=1.

А	В					~		
0	0	0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0	1	0
1	0	0	1	0	1	0	1	0
1	1	1	1	1	0	1	0	0

Пример: Даны высказыванияА=«2+2=4» иВ=«1–8=5». Тогда А=1 и В=0.

Высказывание А~В=0.

А	В					~		
0	0	0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0	1	0
1	0	0	1	0	1	0	1	0
1	1	1	1	1	0	1	0	0