11.1. 11.2. 11.3.
11.4.
11.5.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Вычислить
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
Найти производную сложной функции
и записать ее диф-ференциал.
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
13.5.
Найти производную функции, заданной неявно уравнением
14.1.
14.2.
14.3.
14.4.
14.5.
Найти производную функции, заданной параметрически системой уравнений.
15.1.
15.2.
15.3.
15.4.
15.5.
Вычислить предел
с
помощью правила Лопиталя.
16.1.
16.2.
16.3.
16.4.
16.5.
Решение типовых заданий
При решении типовых заданий 1–11 необходимо использовать методические пособия [1], [6]–[11], [13], а при решении типовых заданий 12–16 – методические пособия [2]–[5], [8]–[13].
1.
Найти координаты вектора
Решение. Используя правила умножения вектора на число и сложения векторов, находим:
2.
Проверить ортогональность векторов
Решение.
Два вектора
называются
ортогональными
,
если угол между ними равен
Условие ортогональности: скалярное
произведение векторов
равно
нулю,
Поскольку координаты векторов
заданы в ортонормированном базисе, то
скалярное произ-ведение векторов
вычисляется
по формуле:
Тогда находим:
Следовательно,
3.
Проверить коллинеарность векторов
Решение.
Два вектора
называются
коллинеарными
,
если угол
между ними равен
Условие коллинеарности: существует
такое число
,
что
,
т.е. координаты векторов пропорциональны,
причем при
угол
при
,
Отметим, что векторное произведение
векторов
равно
нулю,
.
Проверяем условие
:
Следовательно,
4.
Найти
площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
,
как на сторонах, если
Решение.
Площадь параллелограмма выражается
через модуль векторного произведения
векторов:
Используя свойства линейности вектор-ного
произведения, находим:
где
учли, что
Отсюда, используя определение векторного произведения векторов, получим:
5.
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
как на сторонах.
Решение.
Площадь параллелограмма выражается
через модуль векторного произведения
векторов:
где векторное произведение векторов
вычисляется по формуле:
Тогда находим:
6.
Проверить
компланарность трех векторов
Решение.
Три вектора
называются компланарными, если они
лежат в одной плоскости или в параллельных
плоскостях. Условие компланарнос-ти:
смешанное произведение векторов
равно
нулю,
Поскольку
координаты векторов
заданы в правом ортонормиро-
ванном базисе, то находим:
Следовательно,
векторы
–
компланарны.
7.
Записать
каноническое уравнение прямой, проходящей
через точки
Решение.
Каноническое уравнение прямой, проходящей
через две точки
имеет вид:
Отсюда находим:
8.
Записать
уравнение плоскости с заданным вектором
нормали
,
проходящей через точку
Решение.
Уравнение плоскости с заданным вектором
нормали
,
проходящей через точку
имеет вид:
Находим:
Тогда
получим:
9.
Записать
уравнение плоскости, проходящей через
три точки
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через
три точки
,
имеет
вид:
Отсюда
находим:
10.
Найти
значение многочлена
от матрицы
Решение.
Запишем искомое значение:
где
–
единичная матрица.
Используя
правила умножения матрицы
на матрицу,
находим:
Далее, используя правила умножения матрицы на число и сложения матриц,
получим:
11. Решить систему по формулам Крамера или методом Гаусса, если
Решение. Вычислим определитель системы:
Так как определитель системы равен нулю, то система вырожденная и, следовательно, формулы Крамера применить нельзя. Поэтому данную систему будем решать методом Гаусса. Для этого преобразуем расширенную матрицу системы к трапециевидному виду:
Отсюда следует, что полученной трапециевидной матрице соответствует система
эквивалентная
исходной системе,
и она совместная
(
)
и неопределенная (
),
причем базисный минор
Следовательно,
– базисные
неизвестные, а
–
свободная неизвестная. Совершая обратный
ход метода
Гаусса, находим решения системы:
Ответ запишем в виде вектора-решения:
12. Вычислить
Решение. Используя правила действия над комплексными числами, находим:
13. Найти производную сложной функции и записать ее дифференциал, если
Решение. Используя правила дифференцирования и таблицу производных,
находим:
14. Найти производную функции, заданной неявно уравнением
Решение. Используя правила дифференцирования и таблицу производных,
находим:
Из
последнего равенства выражаем 
:
15. Найти производную функции, заданной параметрически системой
уравнений
Решение.
Запишем производную в дифференциальной
форме
Используя правила дифференцирования и таблицу производных, находим дифференциалы функций:
Тогда получим:
16. С помощью правила Лопиталя вычислить предел
Решение. Используя правило Лопиталя, вычисляем предел:
