Диффернцирование функции одной переменной.

Производной данной функции по аргументуназывется предел отношения приращения функциик приращению аргумента, когда последнее произвольным образом стремится к нулю:

Операция нахождения производной от функции называетсядифференцированием этой функции.

1. Правила дифференцирования.

Если иявляются дифференцируемыми функциями аргумента, то:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Таблица производных элементарных функций:

	Функция	Производная функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1
1
13.
14.
15.

Задания 1. Найти производные функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10..
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.

2. Производная сложной функции.

Если иявляются дифференцируемыми функциями своих аргументов, то производная сложной функциисуществует и равна произведению производной данной функциипо промежуточному аргументуна производную промежуточного аргументапо независимой переменной :

(6)

В случае ,,:

(7)

Аналогично во всех более сложных случаях.

Пример 1

Найти производную функции

Решение:

Аргументом данной функции является

Используя таблицу производных, имеем:

.

Производную функции по переменнойнайдем, используя правило дифференцирования частного (3) и таблицу производных:

Таким образом, получаем, согласно (6):

Ответ:

Задания 2. Найти производные функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10..
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.

3. Производная функции, заданной неявно.

Пусть зависимость между изадана в виде соотношения:

(8)

В этом случае говорят, что функция задана неявно.

Для вычисления производной необходимо:

а) вычислить производные от обеих частей уравнения (8), считая при этом функцией от;

б) приравнять полученные производные;

в) решить полученное уравнение относительно .

Пример 2

Найти производную, если

Решение:

а) вычисляем производные от обеих частей заданного равенства, считая функцией от:

б) приравниваем полученные производные:

в) решаем уравнение относительно :

Ответ:

4. Производная функции, заданной параметрически.

Функция является заданной параметрически, еслиизаданы как функции параметра:

(9)

Если - дифференцируемые функции и, то производнаяможет быть найдена по формуле:

(10)

Пример 3

Найти производную, если

Решение:

Находим :

Воспользовавшись формулой (10), получаем:

Ответ:

5. Производная степенно-показательной функции.

Рассмотрим степенно-показательную функцию .

Для вычисления производной предварительно прологарифмируем:

Продифференцируем обе части полученного равенства, считая при этом функцией от:

Разрешая полученное уравнение относительно , окончательно получаем:

(11)

Пример 4

Найти производную функции

Решение:

Прологарифмируем заданную функцию:

Продифференцируем обе части полученного равенства по :

Приравниваем полученные производные:

Учитывая явный вид заданной функции, окончательно получаем:

Ответ:

Задания 3. Найти производные функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.