БДЗ №2
по специальным разделам математического анализа
Выполнил:
Студент группы МП-26
Пузырев Д. В.
Проверил:
Хахалин С. Я.
Оценка:____________________________
Подпись преподавателя:____________________________
Задание 1: Разложить в ряд Фурье функцию F(x) с периодом Т.
Запишем ряд Фурье в комплексной форме:
,
где
коэффициент c(k) записывается в виде:
Докажем, что наша функция кусочно-гладкая на [-T/2,T/2].
Ее производная равна 0 на всей оси, а сама функция имеет две точки разрыва (x=1,x=0) на указанном промежутке.
Значит функция кусочно-гладкая, что означает, что ряд Фурье сходиться к значению функции в каждой точке непрерывности и к
0,5*(f(x+0)+F(x-0)) в точках разрыва.
Запишем значения коэффициентов c(k):
, теперь, подставив в формулу ряда Фурье в комплексной форме, получим разложение; можно заметить, что S(0)=S(1)=1.5, что доказывает верность вычислений:
Н
а
графике показаны сама функция и ряд
Фурье (первые 2 и 20 гармоник).
Задание 2: Разложить в ряд Фурье функцию F(x), изображенную на графике (Жирная линия):
На графике изображены сама функция и ее разложение в ряд Фурье (первые 2 и 20 гармоник).
Запишем ряд Фурье в комплексной форме:
,
где
коэффициент c(k) записывается в виде:
Запишем функцию в алгебраической (Логической в МатКаде) форме:
(u(x) – функция, возвращающая значение х, на промежуток [-T/2;T/2])
Докажем, что наша функция кусочно-гладкая на [-T/2,T/2].
Ее производная равна 0 или 1 на всей оси и имеет 5 точек разрыва на указанном отрезке (x=±1,X=±2,x=0), аналогичные точки разрыва имеет и сама функция.
Значит функция кусочно-гладкая, что означает, что ряд Фурье сходиться к значению функции в каждой точке непрерывности и к
0,5*(f(x+0)+F(x-0)) в точках разрыва.
Запишем значения коэффициентов c(k):
, теперь, подставив в формулу ряда Фурье в комплексной форме, получим разложение; можно заметить, что S(0)=0;S(1)=S(2)=0.5;
S(-1)=S(-2)=-0.5, что доказывает верность вычислений:
Задание
3: Разложить
в ряд Фурье по косинусам функцию F(x),
заданную на полупериоде (0,a):
Т.к. необходимо получить разложение по косинусам, то надо достроить функцию так, чтобы она была четной, т.е. F(x)=F(-x). Запишем ее:
(u(x) – функция, возвращающая значение х, на промежуток [-T/2;T/2])
Из задачи 12.279 (задачник «Специальные разделы матанализа» под редакцией А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича) мы знаем, что коэффициенты Фурье для четной функции записываются как:
Докажем, что наша функция кусочно-гладкая на [-T/2,T/2].
Найдем ее производную. Она равна cosh(x) на [0;T/2] и –cosh(x) на
[-T/2,0]. Как видно она не имеет точки разрыва только в точках ±T/2, так же как и сама функция.
Значит функция кусочно-гладкая, что означает, что ряд Фурье сходиться к значению функции в каждой точке непрерывности и к
0,5*(f(x+0)+F(x-0)) в точках разрыва.
Запишем значения коэффициентов c(k):
, теперь, подставив в формулу ряда Фурье, получим разложение; можно заметить, что S(0)=0;S(1)=S(2)=0.5; S(-1)=S(-2)=-0.5, что доказывает верность вычислений:
На графике изображены сама функция и ее разложение в ряд Фурье (первые 2 и 10 гармоник).
Задание 4: Найти преобразование Фурье следующей функции:
Т.к. на любом из промежутков (-∞;1],(1;2],(2; ∞) функция является константой и она задана на всей действительной оси, то она абсолютно интегрируема на ней. Кроме того, она и ее производная (которая равна 0) имеют конечное число точек разрыва (у функции 2-е, а у производной ни одной), то эта функция – кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке действительной оси, следовательно, она представляется в виде интеграла Фурье.
Сначала преобразование Фурье проведем в действительной форме.
Сначала проведем прямое преобразование Фурье:
А теперь прямое:
Для сравнения проведем косинус-преобразование Фурье.
(Функция четна, следовательно, мы имеем право так поступать.)
Сначала проведем прямое преобразование Фурье:
А теперь обратное:
Графики получившихся в результате функций совпадают, что еще раз доказывает верность преобразований.