Формула Тейлора для важнейших элементарных функций.

Общий вид формулы Тейлора для функций:

, где- остаточный член.

При получаем так называемую формулу Маклорена.

Формула Тейлора для важнейших элементарных функций:

1) ,

, ,. Отсюда получаем, что

. ,

, где . И в итоге имеем:,,.

Пример:

Пусть , тогда получим:

, .

2) ,

Поскольку ,, формула имеет вид:, гдеn – нечётное число, а остаточный член в форме Лагранжа равен ,.

Очевидно, что для остаточного члена справедлива следующая оценка: .

3) ,

Поскольку , то

, ,

, ,.

4) ,

, ,,,

,

, при,

Рассмотрим остаточный член в форме Коши:

, ,,

, где ,и.

5) ,

, ,,

,

Остаточный член в форме Пеано.

Билет 20 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.

Определение: Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) в точке x_o, если найдется такая окрестность U(x_o), что для всех точек из этой окрестности U(x_o) график функции f(x) лежит не выше (не ниже) касательной, проведенной в точке x_o.

Замечание: Говорить о выпуклости в точке можно только если функция дифференцируема в этой точке.

Контрольный пример: .0 - ни точка выпуклости вверх, ни точка выпуклости вниз, ни точка перегиба, потому что в любой окрестности U(0) есть точки в которых функция выпукла вверх и вниз.

Теорема: (Достаточное условие выпуклости вверх (вниз)).

Если функция f в точке x_o имеет непрерывную вторую производную, и при этом <0 (>0), то f выпукла в вверх (вниз) в точке x_o.

Доказательство:

Т.к. функция f имеет непрерывную вторую производную , то эта производная определена в некоторой окрестности. Разложим функцию f по формуле Тéйлора с остаточным членом в форме Пеано:

.

Причем функция является графиком касательной к функции f в точке. Поэтому если>0, то f(x)<(x) в окрестности(т.к. ε(x)→0, при x→0), а если>0, то f(x)>(x) в.

Билет 21

Точка перегиба. Достаточные условия. Общая теорема о точках перегиба и экстремума.

Определение.

Точка называется точкой перегиба, если в этой точке график переходит через сторону касательной ( разные выпуклости слева и справа).

Замечание.

Точка перегиба существует только если . Пример

Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).

Если функция имеетнепрерывной в точке,=0 и, тоточка перегиба.

Доказательство:

В этом случае: ,(формула Тейлора) , или.

В силу непрерывности ви того факта, чтосохраняет знак в некоторой окрестности точки. С другой стороны, множительменяет знак при переходечерез, а вместе с ним и величина(равная превышению точки кривой над касательной в) меняет знак при переходечерез.

Теорема доказана.

Теорема 2 (Общая теорема о точках перегиба и экстремума.)

Пусть функция обладает следующими свойствами:

Непрерывна в и. Тогда, если- нечетное число, то криваяобращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет лиили, а есличетное, тоесть точка перегиба кривой.

Доказательство:

Разложим по формуле Тейлора:

того же знака, что ,,, если- четное то

или всегда,- не точка перегиба.

Если - нечетная

С одной стороны , с другой стороны - точка перегиба. - четное.

, - min

, - max

Билет 22