Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции / семестр1 / Матан (экз)

.doc
Скачиваний:
55
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
40.45 Кб
Скачать

Програмные вопросы по мат. Анализу.

(1 семестр)

1.Геометрическое определение предела функции, используя понятие базы отрезков. Верхний и нижний пределы функции.

2.Вывести понятие предела функции по Коши и Гейне, исходя из геометрического определения предела функции.

3.Односторонние пределы функций.

4.Критерий Коши существования предела функции.

5.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Шкала бесконечно малых. Сим­волы «о-малое» и «о-большое». Теорема об эквивалентных бесконечно малых.

6.Арифметические свойства пределов.

7.Теорема о предельном переходе под знаком неравенства.

8.Непрерывность функции вточке и на множестве. Задача о  - допуске. Когда задача о  - допуске разрешима?

9.Критерий Коши непрерывность функции.

10.Классификация точек разрывов функции. Односторонние пределы.

11.Какие разрывы может иметь монотонная функция?

12.Непрерывность сложной функции.

13.Непрерывность обратной функции.

14.Понятие последовательности. Вывести понятие предела последовательности, ис­ходя из определения предела функции.

15.Частичные пределы последовательности: верхний и нижний пределы последова­тельности.

16.Теорема о пределе монотонной последовательности.

17.Критерий существования предела последовательности.

18.Теорема о локальной оганиченности и теорема о стабилизации знака функции не­прерывной в точкею

19.Первая и вторая теоремы Вейерштрасса о функциях непрерывных на компактах.

20.Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора о равномерной непрерыв­ности функции непрерывной на компакте.

21.Теорема о промежуточном значении функции непрерывной на отрезке

22.Производная функции в точке. Геометрический критерий существования произ­водной в точке.

23.Односторонние производные.

24.Производная суммы, произведения, часного функций.

25.Производная обратной функции.

26.Производная сложной функции.

27. Дифференциал функции. Критерий существования дифференциала.

28. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифферен­циала.

29.Производные и дифференциалы высших порядков.

30.Правила вычисления дифференциалов. Дифференциалы высших порядков слож­ных функций.

31. Дифференциал обратной функции.

32.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши о дифференцируемых функциях.

33.Следствия из теоремы Лагранжа.

34.Правило Лопиталя.

35.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пиано.

36.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (интегральной форме Коши).

37.Точки локального экстремума. Необходимые признаки и достаточные признаки.

38.Итервалы монотонности, выпуклости и точки перегиба. Достаточные признаки.

39.Теорема об асимптотах графика функции.

40.Определить класс монотонных функций. Показать, что они бесконечно диффе­ренцируемы в своей естественной области определения.

41.Производная и первообразная функции на множестве.

42.Понятие о неопределённом интеграле. Область определения неопределённого интеграла.

43.Неопределённый интеграл, как операция обратная дифференцированию.

44.Определённый интеграл Ньютона-Лейбница; область существования интеграла, как функции верхнего предела.

45.Свойство линейности неопределённого интеграла.

46.Свойство линейности и аддитивности интеграла Ньютона-Лейбница

47.Правило замены переменной введением под знак дифферренциала в неопреде­лённом интеграле Ньютона-Лейбница.

48.Правило замены переменной подстановкой в неопределенном интеграле Нью­тона-Лейбница.

49.Метод интегрирования по частям.

50.Теоремы о среднем для определённого интеграла Ньютона-Лейбница.

51.Итегрирование рациональных функций.

52.Рационализирующие подстановки в тригонометрических интегралах.

53. Рационализирующие подстановки в гиперболических интегралах.

54. Рационализация интегралов от иррациональных функций.

55.Мера Жордана плоских фигур. Критерий квадрируемости.

56.Определённый интеграл Римана. Геометрический смысл.

57.Критерий интегрируемости по Риману.

58.Достаточные признаки интегрируемости по Риману.

59.Свойства линейности и аддитивности интеграла Римана.

60.Теорема о среднем. Интеграл Римана, как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.

61.Сходства и отличия определённых интегралов Ньютона-Лейбница и Римана. Обобщение понятия первообразной.

Тестовые (контрольные) вопросы.

1.Какие последовательности называются:

а) сходящимися,

б) расходящимися к +  ( или -  ) ,

в) не сходящимися.

2.Пусть в любой окрестности точки А лежит бесконечно много членов последова­тельности. Следует ли отсюда, что эта последовательность сходится к А, ограничена?

3.Пусть последовательность сходится. Является ли сходящейся последовательность, которая получается из исходной, если:

а) из неё удалить конечное число членов?

б) к ней добавить конечное число новых членов?

в) изменить произвольным образом конечное число её членов?

г) произвольным образом переставить её члены?

4.Докажите, что сходящиеся последовательности имеют только один предел.

5.Сформулируйте необходимое условие сходимости последовательности.

6.Доказать, что последовательность (sin n)n>1 не сходится.

7.Сформулируйте отрицание определений предела функции по Коши и Гейне.

8.Дана функция (x)=x/|x|. Определена ли она в точке х=0. Существуют ли lim(x), lim(x), lim(x)? Сравнить функцию (x) с функцией signx=

9.Сформулируйте определения по Гейне и Коши соответствующие следующим сим­волическим записям: lim (x)= ,(а+)=- , lim (x)=b, lim (x)= , lim (x)=-.

10.Доказать, что lim sinx=0.

11.Доказать, что функция Дирихле

0, если х-иррациональное число

D(x)=

1, если х-рациональное число

не имеет предела ни в одной точке.

12.Докажите, что функция (x)=sin1/x ни имеет предела в точке х=0.

13.Найдите точки разрыва функции Дирихле. Укажите тип этих точек разрыва.

14.Какие функции называются гиперболическими? Принадлежат ли они классу эле­ментарных функций. При каких значениях аргумента эти функции непрерывны, диффе­ренцируемы, Если да, то найдите их.

15.Верно ли равенство: (x)=0(x) при x0, если:

a) (x)=2x2

б) (х)=3х,

в) (х)=|x|,

г) (х)=х/ln|x|,

д) (х)=1-cosx?

16.Исходя из определения символа “о-малое” доказать следующие свойства:

о ()-о ()=о (), о (с)= о ()  с (с0), (о())n= о(n), о (сkk)=о (),о (о ())=о().

17.Вывести асимптотические формулы при x0:

sinx=x+о(x); cosx=1-x2/2+ о(x); ln(1+x)=x+ о(x); ex=1+x+ о(x); (1+x)a=1+ax+ о(x); tgx=x+ о(x); shx=x+ о(x); chx=1+1/ x2 + о(x2 ).

18.Что называется полным приращением функции J=(x) в точке хо?

19.От какого аргумента зависит разностное отношение Δ(x )/хΔ? Какова область определения этой функции?

20.Когда говорят, что функция y=(x) имеет в точке хо беконечную производную, Каков геометрический смысл этого случая?

21.Что такое односторонняя производная, какова её связь с обычной производной в точке? Приведите пример функции у которой в данной точке существуют односторонние производные, но функция не имеет производной в этой точке.

22.Найдите производную функции (x):

x2sin1/x x0

(x)=

  1. x=0

23.Может ли существовать вторая производная ’’о), если не существует о)?

24.Известно, что n-ая производная функции (х) в точке хо существует. Существуют ли производные меньшего порядка в точке хо и в окресности этой точки?

25.Найти дифференциалы до 3-его порядка включительно функции от зависимой переменной.

26.Используя правило Лопиталя вычислить предел:

lim xx

27.Написать разложение по формуле Тейлора функций: sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)n, ex с остаточным членом в форме Лагранжа.

  1. Опишите схему построения графика функции.

29.Сформулируйте достаточные условия существования экстремума.

30.Дайте определение выпуклости функции и точек перегиба. Достаточные условия перегиба графика функции.

31.Исследовать функции: у=arctg(tgx), y=arctg1/x, y=1/(1+ x2)

32.Сформулируйте достаточные условия того, что две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную.

33.В каких облатях функция у=tgx интегрируема по Ньютону-Лейбницу.

34.Сформулируйте правила замены переменных под знаком интеграла. В чём их сходство и различие?

35.Вывести формулу

∫((t))(t)dt =(х)dx

36.Опишите общую схему измерения скалярных величин в терминах базы отрезков.

37.Покажите, что функция Дирихле не итегрируется по Риману.

38.Доказать, что сумма, произведение, частное двух неитегрируемых функций по Риману может быть интегрируема.

39.Что можно сказать об интегрируемости функции (х), если функция |(х) | итегрируема и обратно, что можно сказать об итегрируемости |(х) |, если (х) интегрируема.

40.Показать, что система отрезков([S-,S+]) >0, где S-, S+ соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу -разбиения отрезка [a,b] является базой.

41.Перечислите свойства определённого интеграла.

Соседние файлы в папке семестр1