Vektornaya_algebra_Praktika

1. Операции над векторами

1)

AK, BM - медианы треугольника

ABC . Выразить векторы AB, BC,CA через векторы

AK a, BM

b .

2) В параллелограмме ABCD AB

a, AD

b . Выразить векторы MA, MB, MC, MD , где

M - точка пересечения диагоналей параллелограмма, через векторы a,b .

3)

ABCDEF - правильный шестиугольник, причем AB a, BC b . Выразить векторы

CD, DE, EF, FA, AC, AD, AE через векторы a,b .

4)

Задан тетраэдр OABC . В базисе из векторов OA,OB,OC найти координаты :

а) вектора DE , где D и E - середины ребер OA и BC ;

б) вектора OF , где F - точка пересечения медиан основания ABC .

5)

В тетраэдре OABC медиана AL грани

ABC делится точкой M в отношении

AM

:

ML

3: 7 . Найти координаты вектора OM в базисе

OA,OB,OC .

6)

В трапеции ABCD известно отношение длин оснований -

AB

:

CD

. Найти коор-

динаты вектора CB в базисе из векторов

AB и AD .

7)

Дан правильный пятиугольник ABCDE . В базисе из векторов AB, AE найти координа-

ты: а) векторов AC, AD;

б) векторов BC,CD, DE .

2

,

2

. Прямая MN пересекает BC в

8)

Дан треугольник ABC , причем AM

AB

AN

AC

3

3

точке K . Найти координаты вектора AK в базисе из векторов AB, AC .

1 c . Вычислить:

9)

Даны векторы a( 1, 2,0),b(3,1,1),c(2,0,1) и d

a

2b

3

а)

d

;

б) координаты орта a0 ;

в) cos(b, j ) .

10) Найти вектор x , коллинеарный вектору a(1,

2,

2) , образующий с ортом j острый

15.

угол и имеющий длину

x

11)

Найти вектор x , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы,

если

x

2 3 .

12)

Найти вектор x , образующий с ортом

j

угол 60 , с ортом k

угол 120 , если

x

5

2 .

13)

При каких и векторы a

2i

3 j

k и b

i 6 j

2k коллинеарны?

14)

Даны три вершины A(3, 4,7), B(

5,3,

2),C(1, 2,

3) параллелограмма ABCD. Найти

его четвертую вершину D, противоположную B .

15)

Даны две смежные вершины параллелограмма A(

2,6), B(2,8) и точка пересечения

его диагоналей M (2, 2) . Найти две другие вершины.

K(2, 4), M(6,1), N(

2,3) .

17) Даны вершины треугольника

A(3,

1,5), B(4, 2,

5),C(

4,0,3) . Найти длину медианы,

проведенной из вершины A .

18) Найти координаты концов отрезка, который точками C(2,0, 2), D(5,

2,0) разделен на

три равные части.

19) Даны вершины треугольника

A(1,

1,

3), B(2,1,

2),C( 5, 2,

6) . Вычислить длину

биссектрисы его внутреннего угла при вершине A.

2. Скалярное произведение.

1)

Даны векторы a(4, 2,

4),b(6,

3, 2) . Вычислить:

а) a b ;

б) (2a 3b ) (a 2b ) ;