Жулев_3_4_9_15_16_20

Т(ω)

1

2

ω

1 – идеальная АЧХ; 2 – реальная АЧХ Рис. 5.3.

г) режекторный фильтр или фильтр-«пробка» (рис. 5.4);

Т(ω)

ω

д) полосно-пропускающий фильтр (рис. 5.5).

Т(ω)

1

2

ω

1 – идеальная АЧХ; 2 – реальная АЧХ Рис. 5.5.

Реально нельзя получить идеальные формы частотных характеристик в виде прямоугольников со строго постоянным коэффициентом передачи в полосе пропускания, бесконечным ослаблением в полосе подавления и бесконечной крутизной спада при переходе от полосы пропускания к полосе подавления. Между полосой пропускания и полосой подавления реально существует переходная полоса, а АЧХ в полосе пропускания и полосе подавления имеет некоторую неравномерность (рис. 5.6).

Т(ω)

Т0

∆Т

переходная полоса

Тз

ω

Рис. 5.6.

На рис. 5.6 приняты следующие обозначения:

-Т0 – номинальный коэффициент передачи в полосе пропускания (0 ≤ ω ≤ ωс),

-∆Т – неравномерность коэффициента передачи в полосе пропускания,

-Тз – номинальный коэффициент передачи в полосе задерживания (ωз ≤ ω ≤ ∞).

При проектировании фильтра требования к его АЧХ обычно задают графиком допусков. Например, график допусков для полосового фильтра изображен на рис. 5.7.

Т(ω)

Т0

∆Т

Тз

ω

Рис. 5.7.

В ряде случаев кроме указанных требований к АЧХ также накладывают ограничения на ФЧХ и временные характеристики фильтра.

Фильтры бывают пассивными (RC-фильтры и LC-фильтры) и активными (ARCфильтры). Наиболее популярными аналоговыми фильтрами являются активные RCфильтры.

Активные RC-фильтры относят к классу линейных электрических цепей с

сосредоточенными и постоянными во времени параметрами, передаточная функция которых имеет следующий вид:

i=1

где Т(р) – передаточная функция схемы,

Uвх(p) и Uвых(p) – изображения по Лапласу входного и выходного напряжений соответственно,

p=σ+j ω – комплексная переменная,

bi, ai – вещественные коэффициенты, зависящие от параметров цепи, К – масштабирующий множитель,

и добротностью

Q0 = 2ωσp p .

Частота ωz и добротность Qz определяются аналогично.

Особые точки физически реализуемых цепей являются действительными и образуют

комплексно-сопряженные пары, симметричные относительно оси σ. Поэтому обычно изображают только верхнюю полуплоскость p.

Все характеристики линейной цепи определяются коэффициентами ai, bi и полюсами pi и нулями zi передаточной функции.

АЧХ является зависимостью модуля передаточной функции T(p) от частоты:

Если коэффициент передачи в полосе пропускания равен постоянному значению Т0, то АЧХ фильтра удобно представить в виде зависимости относительного затухания (в дБ) от частоты:

где ε – коэффициент, характеризующий неравномерность коэффициента передачи в полосе пропускания,

F(ω) – функция фильтрации.

ФЧХ выражает зависимость аргумента передаточной функции от частоты:

m

φ(ω) = ∑arg(j ω − zi ) − arg(j ω − pi ) .

i=1

Переходная (импульсная) характеристика h(t), представляющая собой реакцию цепи на воздействие в виде единичного скачка, определяется как обратное преобразование Лапласа от функции T(p)/p и имеет вид

Данное выражение справедливо для цепей, не имеющих кратных полюсов.

Реальные характеристики фильтров из-за отклонения параметров элементов при воздействии дестабилизирующих факторов (температура, влажность, давление, старение) и из-за технологических допусков отличаются от требуемых.

Наиболее общей мерой для оценки изменения некоторой функции F при вариации параметров является классическая дифференциальная чувствительность первого порядка, которая определяется выражением

SFx = ∂∂Fx //Fx = ∂∂Fx Fx = ∂∂(ln(lnFx)) .

Простые ARC-фильтры также являются системами второго порядка. Их передаточная

функция определяется выражением

Так как система имеет второй порядок, то в знаменателе одна комплексно-сопряженная пара полюсов при частоте полюса ω0.

D(p)=p2+a p+b при p=j ω, тогда добротность определяется выражением

Q = ab ,

где b = ω0 .

Добротности фильтров делятся на три группы:

1)малые добротности (Q < 2);

2)средние добротности (2 ≤ Q ≤ 20);

3)большие добротности (Q > 20).

Для звеньев второго порядка традиционно используется косвенный критерий стабильности характеристик – чувствительность добротности и частоты особых точек к изменению параметра x. Например, для полюсов

SQx = ∂∂Qx Qx ,