Типовой_расчет_ФМП
.pdfЗадание 11. Разложить функцию z f x, y |
по степеням |
|||||||
x x0 и y y0 |
с помощью многочлена Тейлора. |
|
|
|||||
11.1.-11.5. f x, y 2x3 5xy2 y3 2y2 x2 y x 4y 5 . |
||||||||
11.1. x0 1, |
y0 |
2 . |
11.2. x0 1, |
y0 2 . |
|
|||
11.3. x0 2 , |
y0 |
1 . |
11.4. x0 2 , |
y0 1 . |
|
|
||
11.5. x0 0 , |
y0 |
3 . |
|
|
|
|
|
|
11.6.-11.10. |
f x, y 4x3 |
2x2 y y3 x2 xy2 2y 3 . |
||||||
11.6. x0 1, |
y0 2 . |
11.7. x0 1 , |
y0 2 . |
|
||||
11.8. x0 2 , |
y0 1. |
11.9. x0 2 , |
y0 1. |
|
||||
11.10. x0 0 , |
y0 3 . |
|
|
|
|
|
||
11.11.-11.15. f x, y x3 |
3xy2 4y3 y2 |
2x2 y 3x 1. |
||||||
11.11. x0 2 , |
y0 1. |
11.12. x0 2 , |
y0 1. |
|||||
11.13. x0 1, |
y0 2 . |
11.14. x0 1 , |
y0 2 . |
|||||
11.15. x0 3, |
y0 0 . |
|
|
|
|
|
||
11.16.-11.20. f x, y 3x3 x2 y 2y3 5x2 |
xy2 y 2x 4 . |
|||||||
11.16. x0 1, |
y0 2 . |
11.17. x0 1, |
y0 2 . |
|||||
11.18. x0 2 , |
y0 1. |
11.19. x0 2 , |
y0 1 . |
|||||
11.20. x0 3 , |
y0 0 . |
|
|
|
|
|
||
11.21.-11.25. f x, y x3 |
3xy2 2y3 y2 |
2x2 y 4x y 3 . |
||||||
11.21. x0 2 , |
y0 2 . |
11.22. x0 1, |
y0 3 . |
|||||
11.23. x0 1, |
y0 1 . |
11.24. x0 2 , |
y0 1 . |
|||||
11.25. x0 0 , |
y0 2 . |
|
|
|
|
|
||
11.26.-11.30. f x, y 3x3 |
2x2 y y3 xy2 y2 x 3y 2 . |
||
11.26. x0 2 , |
y0 2 . |
11.27. x0 1, |
y0 3 . |
11.28. x0 1, |
y0 1. |
11.29. x0 2 , |
y0 1. |
11.30. x0 2 , y0 0 .
Задача 12. Найти экстремум функции двух переменных.
12.1. z x3 3xy 3x 3y2 15y 5
12.2. z 2x3 2x2 2xy2 23 x y2 1
12.3. z 3x2 xy 13x y3 5y 1
12.4. z x3 3xy 6x 3y2 6y 4
12.5. z 6x3 6x2 3xy2 2x 2y2 2
12.6. z x2 2xy 2y3 8y 3
12.7. z 24x 6xy x3 4y2 4y 1
12.8. z 4x3 9x2 xy2 274 x y2 1
12.9. z 3x2 3xy 21x 2y3 21y 4
12.10. z 48x 6xy 3x3 4y2 28y 3
12.11. z 2xy2 9x2 3x3 9x 3y2 5
12.12. z x2 2xy 6x 2y3 46y 2
12.13. z x3 4xy 7x y2 6y 2
12.14. z 2xy2 15x2 5x3 15x 3y2 4
12.15. z x2 2xy 4y3 52y 3
12.16. z 18x 6xy 3x3 4y2 12y 5
12.17. z 3xy2 12x2 4x3 12x 5y2 2
12.18. z 6xy 2x2 18y 6y3 1
12.19. z y 8xy 81x x3 y2 3
12.20. z x2 y2 2x2 4x 4y2 1
12.21. z 3x2 6xy 12x 4y3 30y 2
12.22. z 4x3 4x2 2xy2 3y2 5
12.23. z 4xy x3 y2 2y 5
12.24. z x2 3xy 10x y3 18y 3
12.25. z xy2 x2 5x3 2y2 2
12.26. z 8xy x3 76x y2 2y 4
12.27. z 3x2 4x3 xy2 y2 3
12.28. z 7x 2xy x3 y2 2y 1
12.29. z 2x2 x2 y2 6x 9y 3
12.30. z 3xy2 x2 2x3 4y2 5
Задача 13. Найти экстремум функции трех переменных u Ax2 Bxy Cxz Dx Ey2 Fyz Gy Hz2 Iz J ,
коэффициенты которой заданы в таблице.
№ |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
13.1 |
-3 |
-2 |
5 |
-4 |
-4 |
1 |
-6 |
-3 |
10 |
4 |
13.2 |
6 |
5 |
0 |
-73 |
5 |
-2 |
-72 |
4 |
18 |
1 |
13.3 |
-6 |
3 |
1 |
-17 |
-2 |
3 |
14 |
-4 |
-13 |
-2 |
13.4 |
1 |
-2 |
-2 |
4 |
7 |
5 |
-7 |
5 |
-41 |
-3 |
13.5 |
-3 |
3 |
4 |
-19 |
-4 |
-1 |
-1 |
-2 |
19 |
4 |
13.6 |
4 |
-4 |
1 |
-18 |
5 |
3 |
8 |
3 |
6 |
-5 |
13.7 |
-5 |
5 |
-2 |
20 |
-6 |
1 |
-10 |
-4 |
42 |
3 |
13.8 |
3 |
4 |
3 |
-4 |
7 |
4 |
-22 |
2 |
-14 |
-2 |
13.9 |
-4 |
4 |
-5 |
37 |
-5 |
1 |
-33 |
-2 |
21 |
5 |
13.10 |
3 |
-3 |
2 |
-24 |
6 |
-3 |
27 |
4 |
10 |
-2 |
13.11 |
-4 |
2 |
3 |
-2 |
-5 |
1 |
36 |
-4 |
-32 |
1 |
13.12 |
6 |
5 |
2 |
-22 |
7 |
1 |
15 |
1 |
0 |
-3 |
13.13 |
-3 |
-4 |
-1 |
10 |
-7 |
1 |
34 |
-2 |
12 |
-2 |
13.14 |
4 |
3 |
3 |
-43 |
6 |
-2 |
15 |
3 |
-37 |
5 |
13.15 |
-2 |
-2 |
-1 |
25 |
-7 |
4 |
38 |
-1 |
-1 |
4 |
13.16 |
7 |
-5 |
3 |
69 |
4 |
2 |
-37 |
2 |
5 |
1 |
13.17 |
-5 |
4 |
5 |
23 |
-6 |
1 |
-39 |
-2 |
-1 |
-2 |
13.18 |
4 |
-2 |
2 |
0 |
2 |
-4 |
-28 |
3 |
38 |
-3 |
13.19 |
-3 |
4 |
5 |
34 |
-6 |
1 |
-24 |
-4 |
-35 |
3 |
13.20 |
7 |
5 |
-2 |
61 |
5 |
-1 |
15 |
3 |
-37 |
1 |
13.21 |
-3 |
-2 |
5 |
-11 |
-4 |
2 |
-34 |
-4 |
22 |
-6 |
13.22 |
5 |
3 |
2 |
-28 |
2 |
0 |
-17 |
3 |
18 |
3 |
13.23 |
-4 |
5 |
3 |
21 |
-7 |
-1 |
-44 |
-1 |
-7 |
1 |
13.24 |
8 |
-4 |
4 |
32 |
3 |
2 |
-40 |
2 |
-16 |
-3 |
13.25 |
-4 |
5 |
-1 |
-12 |
-8 |
1 |
48 |
-1 |
-12 |
2 |
13.26 |
3 |
-2 |
3 |
-22 |
4 |
-2 |
4 |
3 |
-28 |
4 |
13.27 |
-7 |
4 |
0 |
-50 |
-4 |
3 |
37 |
-1 |
-12 |
-5 |
13.28 |
2 |
-4 |
3 |
-39 |
9 |
-2 |
108 |
2 |
-26 |
4 |
13.29 |
-8 |
6 |
1 |
4 |
-7 |
3 |
54 |
-1 |
-22 |
3 |
13.30 |
5 |
-4 |
4 |
-40 |
3 |
-1 |
33 |
3 |
-18 |
-4 |
Задача 14. Найти наименьшее и наибольшее значение функции f z x, y в области D , ограниченной заданными линиями.
14.1.z x, y 3x2 2xy 14x 4y2 12y 1,
D : 5x 4y 1, x 4y 4 , x 0 .
14.2.z x, y 4y2 30x 5x2 16y 3 ,
D : x 2 2 y 2 2 2 , y 1 y 1 .
14.3.z x, y 4x2 xy 35x 2y2 8y 2 , D : y 2x , x 4 y , x 2y 6 .
14.4.z x, y 2x2 3xy 5x 2y2 10y 4 ,
D : y x 2 2 2 , y 2 0 .
14.5.z x, y 3xy 3x2 6x y2 11y 2 ,
D : y x2 , y x 2 .
14.6.z x, y 5x2 2xy 32x y2 8y 3 ,
D : x 5y , 3x 5y 1, x 5 0 .
14.7.z x, y x2 4xy 12x 3y2 32y 5 ,
D : 2 y x2 14 , y 1 0 .
14.8.z x, y 4x2 xy 26x 5y2 23y 2 ,
D : 3x 2y 6 0 , y x2 0 .
14.9.z x, y 4xy 3x2 22x y2 24y 3 , D : x y 9 , x 7 y , 5x 3y 0 .
14.10.z x, y 2x2 5xy 34x 2y2 19y 2 ,
D : y x3 0 , y 8 , y 4x .
14.11.z x, y 3x2 6xy 36x 4y2 44y 1,
D : x2 y2 25 , y 1 y 1 .
14.12.z x, y xy 4x2 50x 3y2 6y 4 ,
D : x 3y 6 , x 3y 6 , x 1 .
14.13.z x, y 7x2 xy 37x y2 7 y 2 , D : x 3y , y 5x , 2x 3y 23.
14.14.z x, y 5xy 2x2 34x 4y2 14y 3, D : 4 y 16 x2 , y x .
14.15.z x, y 5x2 2xy 40x 3y2 24y 2 ,
D : x 3y , 5x 3y 15 0 , y 6 0 .
14.16.z x, y 2x2 6xy 32x y2 34y 4 ,
D : 2x 5y 10 , x 2y 10 , x 2 .
14.17.z x, y xy 3x2 11x 2y2 31y 5 ,
D : x2 3y , y 10 .
14.18.z x, y 4x2 2xy 18x 2y2 3 ,
D : x2 y2 9 , x 1 x 1 .
14.19.z x, y x2 6xy 20x 3y2 36y 2 ,
D : y x , x 4 y , x 5 0 .
14.20.z x, y 3xy 2x2 18x y2 5y 4 ,
D : y x2 0 , 8y x2 0 , y 4 0 .
14.21.z x, y 3x2 5xy 26x 4y2 27 y 1,
D : y x , x y 3, x 3 .
14.22.z x, y 4x2 2xy 28x 3y2 4y 3 ,
D : 2y x 4 , x y 0 , x 3 0 .
14.23.z x, y x2 6xy 26x 3y2 18y 2 ,
D : x 2y 10 0 , y x2 0 .
14.24.z x, y 5x2 xy 29x 2y2 y 4 ,
D : x 1 2 y 1 2 9 , x 2 x 2 .
14.25.z x, y 4x2 3xy x y2 4y 5 ,
D : y x2 , y 6 .
14.26.z x, y x2 5xy 2x 2y2 22y 3,
D : x 2y 12 0 , x 8 0 , x 2 0 , y 1 .
14.27.z x, y 2xy 3x2 6x 4y2 20y 1, D : x 2 y , y 3x , y 4 0 .
14.28.z x, y 2x2 3xy 3x 5y2 21y 2 ,
D : 3x 2y 19 0 , 5y 2x 0 , 2y 5x 0 .
14.29.z x, y 4x2 xy 33x 3y2 10y 1,
D : x y 4 0 , x y2 .
14.30.z x, y 2x2 4xy 20x y2 16y 3 ,
D : y x 4 , y x 0 , x 1 .
Задание 15. Найти точки экстремума функции z f x, y при условии, что x, y 0 (методом неопределѐнных множи-
телей Лагранжа). |
|
|||
15.1. |
z x2 2y2 4 ; |
x 3y 2 0 . |
||
15.2. |
z xy ; |
x y 1 0 . |
||
15.3. |
z x2 y2 ; |
2x y 2 0 . |
||
15.4. z x2 y2 ; |
x 2y 2 0 . |
|||
15.5. |
z 2x2 y2 ; |
x y 1 0 . |
||
15.6. |
z x2 2 y2 ; |
x y 2 0 . |
||
15.7. |
z x2 2y2 3 ; |
x 2y 2 0 . |
||
15.8. |
z x2 y2 ; |
2x y 4 0 . |
||
15.9. |
z 5 2x2 y2 ; |
x y 4 0 . |
||
15.10. |
z 3x2 y2 ; |
x y 12 0 . |
||
15.11. |
z x2 6 y2 ; |
3x 4y 12 0 . |
||
15.12. |
z x |
4 |
y ; |
x2 y2 36 0 . |
|
||||
|
3 |
|
|
|
15.13.z 2x2 y2 3 ;
15.14.z 13 x 15 y ;
15.15.z 5x2 y2 7 ;
15.16.z 16 x 101 y ;
15.17.z 2x2 3y2 ;
15.18.z 12 x 23 y ;
15.19.z x2 3y2 ;
15.20.z 2x2 2y2 1;
3x 2y 6 0 .
4x2 y2 1 0 .
3x 4y 24 0 .
3x2 4 y2 5 0 .
5x 2y 10 0 .
x2 y 1 0 .
x y 6 0 . x y 1 0 .
15.21. |
z x2 y2 ; |
x y 3 0 . |
15.22. |
z xy2 ; |
x 2y 1 0 . |
15.23. |
z 2 3x2 3y2 ; |
x y 5 0 . |
15.24. |
z x y 1; |
x2 y2 4 0 . |
15.25. |
z 2x 3y 4 ; |
x2 4y2 4 0 . |
15.26. |
z x2 2 y2 ; |
x y 1 0 . |
15.27. |
z x2 y2 ; |
x y 3 0 . |
15.28. |
z x2 y2 16 ; |
x y 1 0 . |
15.29. |
z x2 y2 ; |
2x y 5 0 . |
15.30. |
z 4x 2y ; |
x2 y2 36 0 . |