1. Постановка задачи

Есть три поставщика A₁, A₂, A₃, и четыре потребителя B₁, B₂, B₃, B₄.

Кол-во единиц товара у поставщиков: A₁ = 75, A₂ = 100, A₃ = 50. Всего 225 ед.

Кол-во единиц потребности товара у потребителей: B₁ = 50, B₂ = 75, B₃ = 75, B₄ = 25. Всего 225 ед.

Стоимость перевозок: C_1,1 = 2, C_1,2 = 4,С_1,3 = 1,C_2,1 = 3, C_2,2 = 2,С_2,3 = 3, C_3,1 = 2, C_3,2 = 5,С_3,3 = 2, C_4,1 = 1, C_4,2 = 2,С_4,3 = 6.

Минимизировать стоимость перевозок.

2. Математическая модель.

Целевая функция будет равна .

Количество товара, отправляемого с каждого товара, не должно превышать имеющихся запасов:

. Условие выполнения заявок каждого пункта потребления запишется в виде .

Так как количество товаров и поставщиков равняется потребности товара у потребителей (225 = 225) то наша задача называется сбалансированной.

3. Решение задачи.

3.1. Определение допустимого базисного решения транспортной

задачи

При решении транспортных задач используют не симплексную таблицу, а матрицу перевозок, в которой совмещены матрица решений и матрица стоимости перевозок:

.

Таким образом, каждой клетке такой матрицы соответствуют два числа x_ij, c_ij.

Ai/Bj	B1 …	Bj	… Bn
A1	c11 x11	…	c1n x1n	a1
Ai	…	cij xij	…	ai
Am	cm1 xm1	…	cmn xmn	am
	b1	bj	bn

A₁, …,A_i, …,A_m – обозначения пунктов отправления, B₁,…,B_j,…,B_n – обозначения пунктов назначения.

В матрице перевозок приведены также запасы пунктов отправления и потребности (заявки) пунктов назначения.

В матрице перевозок существуют базисные (занятые) и свободные (незанятые) клетки. Базисные клетки соответствуют базисным переменным, и в них записываются значения базисных неизвестных из допустимого базисного решения (в том числе и нулевые). Свободные клетки, соответствующие свободным переменным, не заполняются, нули в них не записываются. Число базисных переменных в матрице перевозок: r=m+n-1.

3.2. Решение транспортной задачи диагональным методом (методом северо-западного угла).

	В1	В2	В3	В4
А1	2 х11=50	3	2	1	75
А2	4	2	5	2	100
А3	1	3	2	6	50
	50	75	75	25	=225

Начинаем с угловых объектов, попытаемся удовлетворить потребителя В₁ запасами пункта А₁. Т.к. a₁>b₁ удовлетворяем его, осуществив перевозки х₁₁=50. Потребитель В₁ оказывается удовлетворенным полностью, поэтому этот столбец можно временно исключить, в результате получаем следующую таблицу:

	В2	В3	В4	ai
A1	x12=25			a1 75-50=25
A2				100
A3				50
bj	b2=75	75	25	175

Запасы пункта А₁ при этом уменьшаются и становятся равными a₁^=75-50=25. Далее попытаемся удовлетворить потребность пункта В₂ (играющего теперь роль первого) запасами поставщика А₁. Т.к. b₂ > a₁^, то потребности можно удовлетворить лишь частично x₁₂=25 единицами товара поставщика А₁. При этом потребности b₂ сократятся и станут равными b₂^=b₂ – a₁^=75 –25 = 50, при этом запасы поставщика А₁ окажутся исчерпанными, и его строку можно исключить, из чего получается следующая таблица:

	В2	В3	В4	ai
A2	x22=50			100
A3				50
bj	b2’=50	75	25	150

Для этой таблицы выбирается х₂₂=50, при этом сокращаются запасы А₂. Они становятся равными a₂^ = a₂ – b₂^ = 50 единицам груза. Столбец В₂ исключается, получается новая таблица.

	В3	В4	ai
A2	x23=50		а2’=50
A3	x33=25	x34=25	50
bj	75	25	100

В таблице перевозится в текущем северо-западном углу x₂₃=50, т. к. запасы А₂ составляют только а₂^’=50. Исключается строка А₂, а оставшиеся потребности b₃^’=b₃ – a₂ ^’= 25 удовлетворяются перевозками x₃₃=25 и x₃₄=25.

Итак, получим для решения задач возможные допустимые значения базисных переменных х₁₁=50, х₁₂=25, х₂₂=50, х₃₃=25, х₂₃=50, х₃₄=25. Общая стоимость перевозок F=250 + 325 + 250 + 550 + 225 + 625 = 725.

Это и есть допустимое базисное решение, приведенное в следующей таблице:

	В1	В2	В3	В4
А1	2 х11=50	3 х12=25	2	1	75
А2	4	2 х22=50	5 х23=50	2	100
А3	1	3	2 х33=25	6 х34=25	50
	50	75	75	25	=225

Число базисных переменных равно r=m+n-1=6, т.е. соответствует требуемому числу базисных переменных.