7

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Все многообразие элементов, и блоков, из которых состоит любая ЭВМ, является примером цифрового автомата (ЦА). Под цифровым автоматом будем понимать устройство, предназначенное для преобразования цифровой информации, способное переходить по воздействием входных сигналов из одного состояния в другое и выдавать выходные сигналы. Характерной особенностью ЦА является то, что они имеют дискретное множество внутренних состояний, и переход из одного состояния в другое осуществляется скачкообразно. Реальные ЦА конечны, т.е. множества входных и выходных сигналов и множество состояний конечны.

ЦА функционируют в дискретные моменты времени, временной интервал Т между которыми называется тактом. В зависимости от того, чем определяется время Т , различают автоматы синхронного и асинхронного действия.

Для ЦА асинхронного действия и определяется моментами поступления входных сигналов. Для ЦА синхронного действия входные сигналы действуют в строго определенные моменты времени, определяемые генератором синхронизирующих импульсов, в которые и возможен переход автомата из одного состояния в другое.

По степени детализации описания различают абстрактные и структурные ЦА.

Абстрактные ЦА рассматриваются как черный ящик, имеющий один вход и один выход. При рассмотрении структуры таких ЦА отвлекаются от структуры как самого автомата, так и его входных и выходных сигналов.

Для задания абстрактного ЦА необходимо знать алфавита:

входной алфавит ,

выходной алфавит

и алфавит состояний .

Тогда закон функционирования абстрактного ЦА может быть задан уравнениями:

где - функция переходов ЦА, - функция выходов ЦА, а₀ – начальное состояние ЦА, a(t), z(t), w(t) – состояние автомата, входной и выходной сигналы в момент времени t. ЦА, закон функционирования которого определяется выражениями (1), называется автоматом Мили.

Существуют также ЦА, для которых выходные сигналы зависят только от состояния автомата и не зависят от значений входных сигналов. Такие автоматы называют автоматами Мура. Они описываются уравнениями:

где - сдвинутая функция выхода.

ЦА, для которых число внутренних состояний более одного, называют автоматами с памятью.

ЦА с одним внутренним состоянием называют автоматами без памяти или комбинационными схемами. Закон функционирования таких автоматов будет определяться одним уравнением: w(t)=f[z(t)], т.е. каждому входному сигналу z(t) соответствует свой выходной сигнал w(t).

Чаще всего задание абстрактных ЦА осуществляется с помощью матриц, таблиц переходов и выходов или одной совмещенной таблицы.

Таблица 1

a z	a0	a1	a2	a3
z1	a2 w1	a2 w2	a3 w2	a3 w2
z2	a1 w1	a3 w1	a2 w3	a0 w1

ЦА можно задать и с помощью направленного графа, вершины которого отождествляются с состояниями автомата, а соединяющие их стрелки – с входными и выходными сигналами.

Рис. 1

Решая задачу построения различных цифровых устройств ЭВМ, стараются свести ее к задаче анализа и синтеза комбинационных схем. При этом в качестве основного математического аппарата используется аппарат алгебры логики. Ее создателем является английский математик Буль, поэтому алгебру логики называют также булевой алгеброй.

Основным понятием булевой алгебры является высказывание. Высказывание – это некоторое предложение, о котором можно утверждать, что оно истинно или ложно. Любое высказывание можно обозначить символом, например Х и считать, что Х=1, если высказывание истинно, и Х=0, если высказывание ложно.

Логическая переменная (булева переменная) – такая величина Х, которая может принимать толшько два значения: 0 или 1(истинно или ложно) (true или false).

Высказывание абсолютно истинно, если соответствующая ему логическая величина принимает значение, равное 1, при любых условиях. Например высказывание “Земля – это планета солнечной системы” абсолютно истинно.

Высказывание абсолютно ложно, если соответствующая ему логическая величина принимает значение, равное 0 при любых условиях. Например высказывание “Земля – спутник Марса” абсолютно ложно.

Логическая функция – это функция f(x₁, x₂,…,x_n), принимающая значение, равное 0 или 1 на наборе логических переменных x₁, x₂,…,x_n. Общее число наборов двоичных переменных, на которых определяется булева функция, равно 2ⁿ.

Любая булева функция может быть задана с помощью таблицы истинности. Чаще всего используются булевы функции одной или двух переменных. Для одной переменной существуют всего 4 различных булевы функции:

Таблица 2

x	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)
0	1	0	0	1
0	1	0	1	0

Функция f₁(x) является абсолютно истинной (константа единицы).

Функция f₂(x) является абсолютно ложной (константа нуля).

Функция f₃(x), повторяющая значение логической переменной, является тождественной функцией .

Функция f₄(x), принимающая значения, обратные значениям переменной х, называется логическим отрицанием или функцией НЕ .

Для двух логических переменных существуют 16 логических функций:

Таблица 3

Фун-кция	Значения переменных х1х2				Описание функции
	00	01	10	11
f1	0	0	0	0	f0 (константа нуля)
f2	0	0	0	1	или х1х2 (конъюнкция)
f3	0	0	1	0	(запрет х2)
f4	0	0	1	1	х1
f5	0	1	0	0	(запрет х1)
f6	0	1	0	1	х2
f7	0	1	1	0	(сложение по модулю 2)
f8	0	1	1	1	(дизъюнкция)
f9	1	0	0	0	(функция Пирса)
f10	1	0	0	1	(равнозначность)
f11	1	0	1	0
f12	1	0	1	1	(импликация)
f13	1	1	0	0
f14	1	1	0	1	(импликация)
f15	1	1	1	0	(функция Шеффера)
f16	1	1	1	1	f1 (константа единицы)

Дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ) истинна только тогда, когда истинны или Х₁ или Х₂ или обе переменные.

Конъюнкция (логическое умножение, логическое И) истинна только тогда, когда истинны и Х₁ и Х₂. Обозначается Х₁Х₂, Х₁∩Х₂, Х₁&Х₂.

Сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ) истинна только тогда, когда Х₁ и Х₂ не равны друг другу.

Основные законы булевой алгебры

1. Закон двойного отрицания

2. Законы коммутативности

Х₁Х₂=Х₂Х₁

3. Законы ассоциативности

Х₁(Х₂Х₃)=(Х₁Х₂)Х₃

4. Законы дистрибутивности

5. Правила де Моргана

6. Правила операций с константами 0 и 1

0Х=0 ; 1Х=Х

7. Правила операций с переменной и ее инверсией

Из основных законов можно получить следующие важные соотношения:

1. Законы поглощения

2. Правила подобных преобразований

3. Из правил де Моргана вытекают важные следствия, позволяющие заменять в исходном выражении дизъюнкцию на конъюнкцию и наоборот