10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Определение. Углом между прямыми на плоскости называется любой из двух смежных углов, образованных этими прямыми (если прямые параллельны, то угол между ними 0 или ).

Расстояние от точки до прямой находится аналогично расстоянию от точки до плоскости:

.

Пусть заданы две прямые:

а) общими уравнениями

с вектором нормали

с вектором нормали ;

б) уравнениями с угловыми коэффициентами

;

в) каноническими уравнениями

проходит через точку с направляющим вектором

проходит через точку с направляющим вектором.

Возможны следующие случаи расположения прямых:

1). Прямые параллельны, тогда

а) векторы нормали коллинеарны, следовательно, , если

при этом , то прямые совпадают;

если прямые параллельны, то можно найти расстояние между ними, для этого нужно воспользоваться формулой расстояния от точки до прямой, то есть

или

;

б) направляющие векторы коллинеарны, следовательно, , если при этом точкапринадлежит прямой, то прямые совпадают;

в) угловые коэффициенты равны , если при этом, то прямые совпадают.

2). Прямые пересекаются, тогда

а) ;

б)

Рис.2.39

Прямая образует с положительным направлением оси абсцисс угол, прямая- угол,

угол между прямыми - (, из чертежа видно, что, следовательно,

, тогда , получаем формулу

в) .

3). Прямые перпендикулярны, тогда

а) их векторы нормали перпендикулярны, следовательно, скалярное произведение равно нулю =0;

б) , из формулы следует, что;

в) направляющие векторы прямых перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю .