8. Скрещивающиеся прямые

Пусть заданы две прямые

, .

Прямые могут лежать в одной плоскости (при этом они могут пересекаться или быть параллельными), а могут лежать в разных плоскостях.

Определение. Если прямые не пересекаются и лежат в разных плоскостях, они называются скрещивающимися.

Если прямые лежат в одной плоскости, то векторы лежат в одной плоскости, то есть компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю

Это есть необходимое и достаточное условие принадлежности прямых одной плоскости. При этом, если

,

то прямые параллельны; если координаты направляющих векторов не пропорциональны, то прямые пересекаются.

Необходимым и достаточным условием скрещивающихся прямых является равенство:

.

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

Вектор - общий перпендикуляр к прямым, тогда расстояние между прямыми – это абсолютная величина проекции векторана вектор, то есть

.

9. Различные уравнения прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости будет определено, если задать единичный вектор , перпендикулярный прямой и выходящий из начала координат, и расстояние то начала координат до прямой. Возьмем на прямой произвольную точку.

Когда точка движется по прямой, то ее радиус-вектор меняется так, что все время связан условием:

,

оно выполняется для всех точек прямой, то есть это равенство выражает общее свойство точек прямой и только их. По свойству скалярного произведения

, следовательно,

.

Это нормальное уравнение прямой в векторной форме.

Утверждение. Любое уравнение первой степени с двумя переменными

. (9.1)

определяет прямую на плоскости.

Определение 1. Уравнение (9.1) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Определение 2. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой, называется вектором нормали.

Векторов нормали для прямой бесконечно много, все они коллинеарны между собой, коэффициенты при переменных в общем уравнении прямой – это координаты одного из векторов нормали, то есть - один из векторов нормали.

Частные случаи расположения прямой на плоскости

Рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости (9.1):

1). Если , тогда уравнение (9.1) примет вид

.

Координаты точки удовлетворяют этому уравнению, следовательно, в этом случае прямая проходит через начало координат.

2). Если , то уравнение (9.1) примет вид

,

или , то есть прямая параллельна оси ординат.

3). Если , то получим уравнение

,

в этом случае прямая параллельна оси абсцисс.

4). Если , то получим уравнение- это уравнение оси.

5). Если , то уравнениеопределяет ось.

6) Пусть прямая не параллельна ни одной оси и даны точки пересечения прямой с осями координат (рис), составим по этим данным уравнение прямой. Воспользуемся общим уравнением прямой на плоскости, в этом уравнении нужно найти коэффициенты, для этого подставим координаты точекив уравнение, получим:,

Рис.2.36

следовательно,, подставляем найденные коэффициенты в (2.41), получаем

или , разделим это уравнение на, получимуравнение прямой в отрезках:

.

Числа ипоказывают, какие отрезки на осях координат отсекает данная прямая.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей на осях координат равные отрезки.

Решение. Так как прямая отсекает на осях координат равные отрезки, то , воспользуемся уравнением, подставим координаты точкив это уравнение, получим

, тогда ,

подставляем в (2.44), получаем

или .

Определение 3. Вектор, параллельный данной прямой или лежащий на этой прямой, называется направляющим вектором прямой.

Пусть - направляющий вектор прямой.

Определение 4. Угловым коэффициентом прямой называется отношение проекции направляющего вектора на ось ординат к его проекции на ось абсцисс.

Пусть задан угловой коэффициент прямой и точка пересечения прямой с осью. Составим уравнение этой прямой.

y

Возьмем произвольную точку на прямой (рис), тогда векторбудет направляющим, следовательно,, выразив из этого соотношения, получимуравнение прямой с угловым коэффициентом:

. (9.2)

Пусть задана точка через которую проходит прямая и угловой коэффициент этой прямой. Надо составить уравнение этой прямой. Для этого воспользуемся уравнением (9.2), в котором требуется найти коэффициент. Подставим в уравнение (9.2) координаты точки, получим, вычитая из (9.2) данное равенство, получим:

. (9.3)

Это уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. Если в уравнении (9.3) угловой коэффициент будет принимать всевозможные значения, то это уравнение будет определять пучок прямых с центром в точке.

Пусть задана точка , через которую проходит прямая, и направляющий векторэтой прямой. Составим уравнение этой прямой, воспользовавшись уравнением (9.3):

,

преобразовав это равенство, получим каноническое уравнение прямой:

. (9.4)

Уравнение (9.4) можно рассматривать как пропорцию, поэтому

,

отсюда получаем параметрические уравнения прямой на плоскости:

(9.5)

Пусть даны две точки , через которые проходит прямая. Составим уравнение данное прямой. Воспользуемся каноническим уравнением прямой (9.4), где в качестве направляющего вектора возьмем вектор:

(9.6)

Оба уравнения в (9.6) являются уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.