6. Взаимное расположение прямых в пространстве

Пусть заданы две прямые

,.

Прямая проходит через точкуи имеет направляющий вектор, прямаяпроходит через точкуи имеет направляющий вектор.

Определение. Углом между двумя прямыми в пространстве называется любой из двух углов, образованных прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным.

Возможны следующие случаи расположения прямых.

1). Прямые параллельны , тогда направляющие векторы этих прямых коллинеарны, следовательно, координаты направляющих векторов пропорциональны

.

это условие параллельности прямых. В этом случае можно найти расстояние между параллельными прямыми, для этого надо воспользоваться формулой расстояния от точки до прямой в пространстве, получаем

,

Если прямые параллельны и т., прямые совпадают.

2). Прямые пересекаются , в этом случае можно найти косинус угла между ними

3). Прямые перпендикулярны , тогда направляющие векторы этих прямых тоже перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю

это условие перпендикулярности прямых в пространстве.

7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Общие точки прямой и плоскости

Пусть даны прямая и плоскость

, .

Прямая проходит через точку , ее направляющий вектор, вектор нормали плоскости.

Определение 2.24. Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

Для взаимного расположения прямой и плоскости возможны следующие случаи.

1). Прямая и плоскость параллельны , тогда направляющий вектор прямой будет перпендикулярен вектору нормали плоскости, значит их скалярное произведение равно нулю

.

Это условие параллельности прямой и плоскости.

В этом случае можно найти расстояние между прямой и плоскостью, для этого надо воспользоваться формулой расстояния от точки до плоскости

.

2). Если прямая и плоскость параллельны и точка прямой принадлежит плоскости, то прямая лежит в плоскости, то есть должны выполняться следующие условия

Это условия принадлежности прямой плоскости (прямая лежит в плоскости).

3). Прямая и плоскость перпендикулярны , тогда направляющий вектор прямой будет параллелен вектору нормали плоскостии их координаты пропорциональны

.

Это условие перпендикулярности прямой и плоскости.

4). Прямая и плоскость пересекаются .

Пусть угол , тогда, следовательно,

.

Общие точки прямой и плоскости

Пусть даны прямая и плоскость

, .

1). Если , а, то прямая и плоскость параллельны, значит, общих точек они не имеют.

2). Если , то прямая лежит в плоскости, значит, все точки прямой лежат в плоскости.

3). Если , прямая и плоскость пересекаются, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, надо перейти к параметрическим уравнениям прямой и, подставив эти соотношения в уравнение плоскости, получить значение параметра, соответствующего точке пересечения прямой и плоскости.

Пример. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Решение. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой

подставляем эти соотношения в уравнение плоскости, получим

,

отсюда находим , тогда координаты точки пересечения.