
- •Лекции по дисциплине
- •2. Частные случаи расположения плоскости в пространстве
- •3. Различные уравнения плоскости в пространстве
- •4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости
- •5. Различные уравнения прямой линии в пространстве
- •6. Взаимное расположение прямых в пространстве
- •7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Общие точки прямой и плоскости
- •Общие точки прямой и плоскости
- •8. Скрещивающиеся прямые
- •9. Различные уравнения прямой на плоскости
- •Частные случаи расположения прямой на плоскости
- •10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
МИНИСТЕРСВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Инженерно-экономический факультет
Кафедра эконометрики и математического моделирования (ЭиММ)
Лекции по дисциплине
«Линейная алгебра»
для направления 080100 «Экономика»
Рязань 2012
Темы 5, 6. Элементы аналитической геометрии
на плоскости и в пространстве
1. Общее уравнение плоскости в пространстве
Положение плоскости
в пространстве относительно выбранной
системы координат определяется ее
расстоянием от начала координат (
)
и единичным вектором, который
перпендикулярен плоскости и направлен
от начала координат к плоскости.
Возьмем на плоскости
произвольную точку
.
При движении точки по плоскости ее
радиус-вектор
меняется,
но он все время связан некоторым условием,
а именно:
Так как
,
то
это нормальное уравнение плоскости в векторной форме.
Если воспользоваться
тем, что
, то получим нормальное уравнение
плоскости в координатной форме :
Утверждение. Любое уравнение первой степени с тремя переменными определяет плоскость.
Доказательство. Рассмотрим уравнение 1-ой степени с тремя переменными
Пусть
- проекции постоянного вектора
на оси координат;
-
проекции радиус-вектора
точки
,
тогда уравнение примет вид
Рассмотрим
три случая : 1) пусть
,
разделим левую и правую части уравнения
на
,
получим
обозначим
,
так как
,
то
, получаем
2) пусть
,
разделим левую и правую части уравнения
на
, уравнение примет вид
обозначим
>0 , тогда вновь получим
3) пусть
,
в этом случае левую и правую части
уравнения можно разделить на
или на
, тогда уравнение
примет вид
или
То есть линейное уравнение 1-ой степени с тремя переменными всегда может быть приведено к уравнению, являющемуся нормальным уравнением плоскости, значит оно определяет плоскость.
Линейное уравнение
1-ой с тремя переменными (2.32) называется
общим уравнением плоскости. Из предыдущих
рассуждений следует, что вектор
,
проекциями которого на оси координат
являются коэффициенты
при переменных общего уравнения
плоскости, коллинеарен единич-
ному вектору
,
перпендикулярному плоскости, будет
перпендикулярен плоскости.
Определение 2.21. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали плоскости.
Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному, надо умножить его на нормирующий множитель
знак
противоположен знаку коэффициента
,
если
,
то знак выбирается произвольно.
Следовательно,
,
тогда
Если
,
то берется верхний знак, если
,
то нижний знак.