4. Методы прогноза и коррекции

Методами прогноза и коррекции называются такие методы, в которых сначала находится предварительное значение функции в следующей (i+1)-й точке, которое затем корректируется. Таким образом, метод прогноза и коррекции является многошаговым; сначала приближенно определяется значение y_i+1 , а затем с помощью производной оно уточняется. Методы прогноза и коррекции более экономичны по затратам машинного времени, поскольку в них используется информация о предшествующей точке. Это означает, что с этих методов нельзя начинать решение. Но при их использовании можно получить хорошую оценку ошибок ограничения.

Для нахождения исходного приближения y_i+1 полагаем, что уравнение нам задано, а точки (x_o,y_o) и (x₁,y₁) известны. Тогда тoчка ищется как точка пересечения прямойL₂, параллельной L₁, с прямой x= x₂ (рис.1). Ее ордината Верхний индекс (о) говорит о том, что найдено нулевое приближение y_i+1, которое методами коррекции нужно уточнить. В качестве метода коррекции используем итерационные методы (рис.2). Так как известна точка , то можно найти угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке:

Угловой коэффициент касательной к кривой в точке равенУсредним угловые коэффициентыk₁ и k₂ :

Теперь через точку проведем прямую до пересечения с прямойx= x₂. Ордината точки пересечения будет

Рис.1. Прогноз Рис.2. Коррекция

Обобщая полученную формулу на k–ю точку и i–ю итерацию, получем

(14)

Итерационный процесс прекращается, как только

где  - заданная точность решения уравнения.

5. Задание для лабораторной работы

Решить задачу Коши при заданном начальном условии и шаге интегрирования h методом, указанным преподавателем (10 – 14).

Задание. Электрон под действием внешних электрических и магнитных сил совершает движение, описываемое системой дифференциальных уравнений:

с начальными условиями t_o=0, x_o=0, y_o=1. Выяснить характер движения электрона за время t=10 c.

Поясненения к выполнению лабораторной работы.

Составляется программа на ЭВМ, которая запускается дважды для шагов 2h и h (на одном и том же отрезке интегрирования [a,b]). Устанавливается точность результата путем сравнения полученных значений. Предусмотреть в программе (если это необходимо) счетчик числа итераций.

Требуемая оценка осуществляется так. Пусть - вычисленное значениеy(x) с шагом 2h, а - соответствующее значение, полученное с шагомh. Для ориентировочной оценки погрешности  значения можно использовать формулу.

Контрольные вопросы

1. На какие основные группы подразделяются приближенные методы решения дифференциальных уравнений?

2. В какой форме получается решение дифференциального уравнения по методу Эйлера?

3. Какой способ оценки точности используется при приближенном интегрировании дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта?

Содержание отчета

1. Блок схема программы

2. Текст программы.

3. Результаты расчетов в виде таблицы для двух значений шага интегрирования.

4. Графики движения электрона.

5. Расчет погрешности метода.

6. Выводы.