1.Размещения, перестановки, сочетания

Пусть Х = {х1 , х2 , …, хn } – множество из n элементов. Набор элементов x_i1, x_i2, … , x_ik € X называется выборкой объёма k из n элементов, или (n,k) – выборкой.

#Размещением из n элементов по k называется упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, выбранных из множества Х. Подмножества, отличающиеся порядком, считаются различными. Количество таких размещений обозначается и называется коротко количеством размещений изn по k.

Упорядоченная выборка без повторений называется размещением из n элементов по r.

= – число различных размещений. Доказательство индукцией по k (для произвольного п, k<=n). k = 1. Очевидно, =n , так как размещениями из п по 1 являются подмножества в Х, состоящие из одного элемента, а количество таких подмножеств равно количеству элементов в Х, то есть п. Пусть утверждение верно для k - 1. То есть для любого m>=k-1= m(m -1)(m – 2)…(m – k + 2). Докажем его для k. Рассмотрим k мест: |1 |2|…|k-1|k|. Произвольное размещение из n по k получается размещением на 1-е место любого из п элементов множества Х (таких возможностей имеется n), а на оставшиеся k - 1 мест - произвольного размещения из оставшихся m = n – 1 элементов множества Х (таких размещений имеется). Отсюда и по предположению индукции

== n(n -1)(n –2)…(n – k + 1)= n! /(n – k)! .

Упорядоченная выборка с повторениями называется размещением с повторениями из n элементов по r.

= – число различных перестановок с повторением.

#Сочетанием из n элементов по k называется (неупорядоченное) подмножество, состоящее из k элементов, выбранных из множества Х. Подмножества, отличающиеся порядком, считаются одинаковыми. Количество таких сочетаний обозначаетсяназывается коротко количеством сочетаний из п по k.

Неупорядоченная (n,r) – выборка без повторений называется сочетанием из n элементов по r.

= – число различных сочетаний.

Доказательство. Так как все размещения из п по k получаются выборками из множества Х различных сочетаний из k элементов, а затем их всевозможными перестановками, то =Pk=/ Pk = n(n -1)(n – 2)…(n – k + 1) / k! = = n! /((n – k)! k!) .

Неупорядоченная (n,r) – выборка с повторениями называется сочетанием с повторениями из n элементов по r.

= – число различных сочетаний с повторениями

#Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по п. Количество таких перестановок обозначается Pn.

Упорядоченная (n, n) – выборка без повторений называется перестановкой из n элементов (по n).

P (n)=n! – число различных перестановок.

2.Бином Ньютона. Полиномиальная теорема.Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Полиномиальная теорема

Теорема.

Доказательство.

Чтобы после раскрытия скобок получился одночлен , нужно выбрать те скобок, из которых берется , те скобок, из которых берется и т.д. и те скобок, из которых берется . Коэффициент при этом одночлене после приведения подобных членов равен числу способов, которыми можно осуществить такой выбор.

Первый шаг последовательности выборов можно осуществить способами, второй шаг — , третий — и т.д., -й шаг — способами. Искомый коэффициент равен произведению