Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ДЛЯ ЭКОНОМ СПЕЦ 1-2 модуль

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

988.75 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

			2		−1					1
	r		2		−1		r			2
	r						r				5
числу λ =1	: x	=c	1	+c	0	, а числу λ = −1	: x	= c	−		5	.
числу λ =1	: x	=c	1	+c	0	, а числу λ = −1	: x	= c	−		6	.
		1		2							6
			0		1				1
			0		1				1

Задание 6. В этом задании надо привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием, указать линейное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

Пример 1. Квадратичная форма x12 +5x22 + x32 + 2x1x2 +6x1x3 +2x2 x3 .

Решение.

Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, следует перейти к базису собственных векторов матрицы квадратичной формы.

	1	1	3
	1	5	1	и найдем ее собст-
Запишем матрицу квадратичной формы A =
	3	1	1

венные числа (см. Задание 5.1)														λ1 = −2 ,											λ2 = 6 ,							λ3 =3 .
Собственные векторы, соответствующие различным собственным
числам ортогональны. Найдем эти векторы (см. Задание 5.2).
							−c												c															c
λ = −2 :					r				0		,	λ = 6	:		r		=					2c					,			λ =		r	=	−c	.
λ = −2 :					e =				0		,	λ = 6	:		e		=					2c					,			λ =		3 : e	=	−c	.
1					1							2			1													3				1
									c														c											c
									c														c											c
Нормируем собственные векторы.
														r						−			1
																				−
																								2
	er1	= c2 +c2 = c 2 , er1′ =												er1		=					0					.
	er1	= c2 +c2 = c 2 , er1′ =												er1		=					0					.
														e
														1							1
														1							1
																					2
																				er									1

	r			2				2			2			r																6
	r			2				2			2			r																6
	e	=	c		+ 4c				+c			=c 6 , e′					=			r2				=					2		.


	2														2					e2								6
																				e2								6
																													1
																												6
																		er										1
																												3
	r			2		2				2				r														3
	r			2		2				2				r																1
	e	=	c		+c			+c			= c 3 ,		e′		=			r3				=					−			1	.


	3												3					e3										3
																		e3										3
																												1
																												3

В ортонормированном базисе из собственных векторов матрицы

′		λ 0		0		−2	0	0
′		1	λ2	0		0	6	0	, а са-
квадратичная форма будет иметь вид A	=	0	λ2	0	=	0	6	0	, а са-
		0	0	λ		0	0	3
				3

ма квадратичная форма канонический вид −2(x1′)2 +6(x2′)2 +3(x3′)2 .

Линейное преобразование, которое приводит квадратичную форму к каноническому виду, задается матрицей перехода к ортонормированному

базису из собственных векторов	′	=T	T	AT . В нашем слу-
	A

		−		1		1		1
		−
чаеT =		2			6			3
		0				2	−		1	. Для «правой» системы координат detT							=1.
		0					−			. Для «правой» системы координат detT							=1.
			1		6			3
			1			1		1
		2			6			3
		Ответ. −2(x1′)2 +6										(x2′)2 +3(x3′)2 .
		Пример 2. Квадратичная форма
17x2	+14x2				+14x2				−4x x −4x x −8x x .
1		2					3			1	2	1	3	2	3
		Решение.
																17	−2	−2
																−2	14	−4
Матрица этой квадратичной формы имеет вид A =																−2	14	−4	.
																−2	−4	14
																−2	−4	14

Как и в предыдущем примере найдем ее собственные числа и собственные векторы (см. Задание 5.1, 5.2).

			c					r		13
λ = 9	: er	=	2c	, нормируем	er	=	c2 + 4c2 + 4c2 =3c , er′′=	er1	=		2	.
											2


1	1				1		1	e		3
			2c					1		2
			2c								3

Если среди собственных чисел матрицы квадратичной формы есть равные, то среди собственных векторов, соответствующих этому числу, нужно выбрать набор линейно независимых векторов, составляющих фундаментальную систему решений. А затем провести их ортогонализацию.

Для λ2 = λ3 =18 матрица однородной системы имеет вид

−1 −2

−2

~ (1 2

2), поэтому er

−2c1 −2c2

−2c1

−2c2

−2

−4

−2

−4

	Подберем два линейно независимых вектора.																																Положим			c1 =1				и
																																				c2 = 0
c1	= 0								−2								−2
c1	= 0	,	тогда				r	=		1					r	=		0
		,	тогда				e2	=		1				и e3		=		0		. Проведем их ортогонализацию. Пусть
c2	=1									0								1
										0								1
			−2													r		r′
er′ =er = 1 ,							а	er′ =er					−er′			er3	er2			. Нетрудно проверить, что для них вы-
2	2								3			3			2	e2′ e2′
2	2								3			3			2
			0																												er3′ = 0 .
полняется условие ортогональности векторов e2′																															er3′ = 0 .
															−2						−2							−	2
						r		r				r			−2						−2							−	5
						r		r			4	r								4									4
	Итак					e3′	= e3		−		4	e2′			=	0		−		4			1		=			−	4		. Нормируем				полученные
	Итак					e3′	= e3		−		5	e2′			=	0		−		5			1		=			−	5		. Нормируем				полученные
																1							0					1
																1							0					1
																				−		2															−		2
																				−																	−
				r												r							5			r									r			3 5
				r												r										r					4			3 5	r			3 5
векторы				e2′	=		4 +1			+0 =					5	, e2′′ =					1				;	e3′		=			4	+ 1625	+1 =	3 5	, e3′′=		−		4	.
																					1
																					5										25			5				3	5
																																						5
																					0																	5
																					0																3		5
	В		базисе					из		собственных										векторов								матрицы					квадратичная				форма
								′		λ					0	0					9			0				0
								′	=			1			λ2	0					0			18				0		, а сама квадратичная форма
принимает вид A									=			0			λ2	0			=		0			18				0		, а сама квадратичная форма
												0			0	λ					0			0			18
																	3
												′′		2			′′		2						′′	2	.
канонический вид 9(x1 )															+18(x2 )					+18(x3 )							.

Ответ. 9(x1′′)2 +18(x2′′)2 +18(x3′′)2 .

ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

Задание 4.
Выяснить, образуют ли векторы p,qr,rr базис.
Если образуют, то разложить вектор x по этому базису.
4.1	pr(0;1; 2)	4.2	pr(1;3; 0)	4.3	pr(2;1; −1)
	qr(1;0;1)		qr(2; −1;1)		qr(0;3; 2)
	rr(−1; 2; 4)		rr(0; −1; 2)		rr(1; −1;1)
	xr(−2; 4; 7)		xr(6;12; −1)		xr(1; −4; 4)

4.4	pr(−2; 0;1)
	qr(1;3; −1)
	rr(0; 4;1)
	xr(−5; −5;5)
4.7	pr(3;1; 0)
	qr(−1; 2;1)
	rr(−1; 0; 2)
	xr(3;3; −1)
4.10	pr(1;0;5)
	qr(−1;3; 2)
	rr(0; −1;1)
	xr(5;15; 0)
4.13	pr(0;1;3)
	qr(1; 2; −1)
	rr(2; 0; −1)
	xr(3;1;8)
4.16	pr(0;5;1)
	qr(3; 2; −1)
	rr(−1;1; 0)
	xr(−15;5; 6)
4.19	pr(0;3;1)
	qr(1; −1; 2)
	rr(2; −1; 0)
	xr(−1; 7; 0)
4.22	pr(0;1;5)
	qr(3; −1; 2)
	rr(−1; 0;1)
	xr(8; −7; −13)
4.25	pr(1; −2; 0)
	qr(−1;1;3)
	rr(1;0; 4)
	xr(6; −1; 7)

4.5	pr(5;1; 0)
	qr(2; −1;3)
	rr(1;0; −1)
	xr(13; 2; 7)
4.8	pr(−1; 2;1)
	qr(2;0;3)
	rr(1;1; −1)
	xr(−1; 7; −4)
4.11	pr(1;1;0)
	qr(0;1; −2)
	rr(1;0;3)
	xr(2; −1;11)
4.14	pr(1; 2; −1)
	qr(3;0; 2)
	rr(−1;1;1)
	xr(8;1;12)
4.17	pr(1; 0;1)
	qr(0; −2;1)
	rr(1;3; 0)
	xr(8;9; 4)
4.20	pr(1; −1; 2)
	qr(3;2;0)
	rr(−1;1;1)
	xr(11; −1; 4)
4.23	pr(1; 0;1)
	qr(1; −2; 0)
	rr(0;3;1)
	xr(2; 7;5)
4.26	pr(2; 0;1)
	qr(1;1;0)
	rr(4;1; 2)
	xr(8;0;5)

4.6	pr(0;1;1)
	qr(−2; 0;1)
	rr(3;1; 0)
	xr(−19; −1; 7)
4.9	pr(1;1; 4)
	qr(0; −3; 2)
	rr(2;1; −1)
	xr(6;5; −14)
4.12	pr(1;0; 2)
	qr(−1;0;1)
	rr(2;5; −3)
	xr(11;5; −3)
4.15	pr(1; 4;1)
	qr(−3; 2; 0)
	rr(1; −1; 2)
	xr(−9; −8; −3)
4.18	pr(2;1; 0)
	qr(1; −1; 0)
	rr(−3; 2;5)
	xr(23; −14; −30)
4.21	pr(1;1; 4)
	qr(−3; 0; 2)
	rr(1; 2; −1)
	xr(−13; 2;18)
4.24	pr(4;1;1)
	qr(2; 0; −3)
	rr(−1; 2;1)
	xr(−9;5;5)
4.27	pr(0;1; −2)
	qr(3; −1;1)
	rr(4;1; 0)
	xr(−5;9; −13)

4.28 pr(2;1;0) qr(1;0;1) rr(4; 2;1) xr(3;1;3)

4.29 pr(0; −2;1) qr(3;1; −1) rr(4; 0;1) xr(0; −8;9)

4.30 pr(1; 0; 2) qr(0;1;1) rr(2; −1; 4) xr(3; −3; 4)

Задание 5.

	Найти собственные числа матрицы A и собственные векторы, соответствующие
эти числам.
5.1		4	−5	2		5.2		3	1		0	5.3		1	2		−4
		5	−7 3					−4 −1 0						2 −2 −2
	A =	5	−7 3				A =	−4 −1 0					A =	2 −2 −2
		6	−9 4											−4 −2 1
		6	−9 4					4 −8 −2						−4 −2 1
5.4		4	−1	−2		5.5		1	−1		1	5.6		4	−2		−1
		2	1 −2					−2 −6 13
	A =	2	1 −2				A =	−2 −6 13					A =	−1 3 −1
		1	−1 1					−1 −4 8
		1	−1 1					−1 −4 8						1 −2 2
5.7		1	−3	4		5.8		4	1	1		5.9		7	−12			6
		4	−7 8					2 4 1
	A =	4	−7 8				A =	2 4 1					A = 10 −19 10
		6	−7 7					0 1 4
		6	−7 7					0 1 4					12 −24 13
5.10		2	−1		2	5.11		2	−5		−3	5.12		4	1	−1
		5 −3 3												2 3 −2
	A =	5 −3 3					A =	−1 −2 −3					A =	2 3 −2
		−1 0 −2						3 15 12						1 −1 2
		−1 0 −2						3 15 12						1 −1 2
5.13		−1 3		−1		5.14		0	1	0		5.15		2	1	−1
								−4 4 0
	A =	−3 5 −1					A =	−4 4 0					A =	1 2 −1
		−3 3 1						−2 1 2						0 0 1
		−3 3 1						−2 1 2						0 0 1
5.16		7	−2		0	5.17		5	6	−3		5.18		6	−2		−1
		−2 6 −2
	A =	−2 6 −2					A =	−1 0 1					A =	−1 5 −1
		0 −2 5
		0 −2 5						1 2 −1						1 −2 4
5.19		2	−1		2	5.20		7	−4	4		5.21		7	−6	6
		5 −3 3						2 3 2						4 −1 4
	A =	5 −3 3					A =	2 3 2					A =	4 −1 4
		−1 0 −2						2 0 5						4 −2 5
		−1 0 −2						2 0 5						4 −2 5
5.22		5	0	0		5.23		1	−3		3	5.24		2	1	0
		1						−2 −6 13						1 2 0
	A =	1	4 −1				A =	−2 −6 13					A =	1 2 0
		1						−1 −4 8						−1 1 3
		1	−1 4					−1 −4 8						−1 1 3
5.25		2	1	−1		5.26		7	−4		−2	5.27		4	−3	−3
		1												1 2 1
	A =	1	2 −1				A =	−2 5 −2					A =	1 2 1
		0	0 1					0 0 9						1 2 2
		0	0 1					0 0 9						1 2 2

5.28		5	−1	1	5.29		3	0	0	5.30		1	1	−1
		0	2	1			−1 −2 1					−1 1		1
	A =	0	2	1		A =	−1 −2 1				A =	−1 1		1
		0	2				1	3	4			1	3
		0	2	−1			1	3	4			1	3	−1

Задание 6.

Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием, указать линейное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

6.1x1x2 +2x1x3 +4x2 x3

6.2x12 +3x22 + x32 +2x1x2 −4x2 x3

6.3x1x2 + x2 x3

6.4x12 + x22 + x32 + x1x2 + x1 x3 + x2 x3

6.5x12 + x22 +5x32 +2x1x2 −2x1x3 +4x2 x3

6.6x12 +4x22 + x32 −4x1 x2 +2x1 x3

6.7x12 + x22 + x32 −2x1 x2 +2x1x3 −2x2 x3

6.83x12 +4x22 +5x32 +4x1 x2 −4x2 x3

6.9x12 +2x22 +3x32 −4x1 x2 −4x2 x3

6.10x12 +4x22 + x32 −4x1x2 +2x1x3

6.113x12 +4x22 +5x32 +4x1 x2 −4x2 x3

6.12x12 + x22 − x32 −4x1 x2 +4x2 x3

6.13x12 + x22 +3x32 +2x1x2 +6x1x3 −6x2 x3

6.144x12 −3x32 −4x1 x2 −4x1 x3 +8x2 x3

6.154x12 +5x22 +3x32 −8x1x2 +8x2 x3

6.16x12 + x22 + x32 +4x1x2 +4x1x3 +4x2 x3

6.17x12 + x22 +5x32 −6x1 x2 +6x1 x3 −6x2 x3

6.18x12 + x22 − x32 −4x1x3 +4x2 x3

6.198x1x3 +2x2 x3

6.20x12 +7x22 + x32 −8x1x2 −16x1 x3 −8x2 x3

6.21x12 +3x32 −4x2 x3

6.22x12 −7x22 + x32 −4x1 x2 −2x1 x3 −4x2 x3

6.23−2x12 +5x22 −2x32 +4x1x2 +4x2 x3

6.24x12 + x22 + x32 −2x1 x2 −2x1x3 −2x2 x3

6.2511x12 +5x22 +2x32 +16x1 x2 +4x1 x3 −20x2 x3

6.262x12 +2x22 +2x32 −8x1x2 +6x2 x3

6.27x12 + x22 + x32 −2x1 x2 +6x1x3 −4x2 x3

6.28−4x1x2 +4x1x3 +4x2 x3

6.292x1x2 +2x1x3 +2x2 x3

6.30x22 + x32 −2x1 x2 −2x1 x3

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Могут ли быть равными два вектора, один из которых – четырехмерный, а другой – пятимерный?

2.Какие векторы получаются из вектора a умножением на 0 и −1?

3.Какие векторы называются линейно независимыми?

4.Какие числа называются координатами вектора в данном базисе?

5.Доказать, что система векторов будет линейно зависима, если она содержит два пропорциональных вектора.

6.Чем задается линейный оператор в базисе пространства Rn ?

7.Всякая ли квадратная матрица n -го порядка задает в Rn линейный оператор?

8.Какой линейный оператор называется нулевым?

9.Сколько различных собственных значений может иметь матрица третьего порядка?

10.Чему равен ранг фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений?

Тема 4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Задание 7. В этом задании дан тетраэдр с вершинами в точках A1, A2 , A3 , A4 . Надо найти:

7.1объем тетраэдра;

7.2высоту тетраэдра, опущенную из вершины A4 .

Дано. A1 (1;−3;−5), A2 (0;0;−2), A3 (−6;−1;−2), A4 (−1;2;−4).

Решение.
uuur	uuur	uuuur
1. Тетраэдр A1 A2 A3 A4 построен на векторах A1 A2 ,	A1 A3 ,	A1 A4 . Найдем

координаты этих векторов (для этого из координат конца вычитаются ко-

uuuur

=(−1;3;3)

uuur

=(−7;2;3),

uuur

=(−2;5;1).

ординаты начала): A1 A2

, A1 A3

A1 A4

Объем тетраэдра находим по формуле V =

uuuur uuuur uuuur

A A

Вычислим

uuuur

−1

A1 A2

A1 A3

A1 A4

−7

= −2 −105 −18 +12 +15 + 21 = −77

найдем

−2

объем тетраэдра V = 1

−77

= 77 .

Ответ.

V = 77 .

2. Чтобы найти высоту тетраэдра, воспользуемся формулой объема

пирамиды V = 1 S

H .

Здесь

– площадь основания, т.е. площадь

пир

осн

треугольника A1 A2 A3 , а H – высота пирамиды, проведенная из вершины A4

на основание A1 A2 A3 .

Площадь

треугольника

вычислим,

используя

формулу

uuuur

A A

× A A

Для этого найдем вектор

uuuur

3 3

ir −

−1 3

rj +

−1 3

A A

× A A =

−1 3 3

k =3ir −18 rj +19k

−7

−7 2

−7

uuur

uuuur

+182 +192 =

посчитаем

его

длину

694 . Тогда

A A

× A A

S = 6942

Из формулы объема пирамиды выразим высоту H = 3Vпир , и под-

Sосн

ставив ранее найденные значения, получим H =	77	.
	694

Ответ. H = 77694 .

Задание 8. В этом задании необходимо решить задачу по теме «Векторная алгебра»

Пример 1. Даны векторы ar =mi +3rj +4k и b = 4ir+mjr−7kr. При каком значении m векторы a и b перпендикулярны?

Решение.

Запишем координаты векторов ar(m;3;4) и b (4;m;−7).

Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов являетсяr r условие равенства нулю их скалярного произведения. По-

скольку a b = 4m +3m − 28 , найдем m , решая уравнение 4m +3m −28 =0 . Получим m = 4 .

Ответ. m = 4 .

Пример 2. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на

uur

векторах

(a +3b)

и (3a

+b), если

=1, а угол между векторами

(ar,br)=30o

Решение.

r r

Из определения векторного произведения следует, что длина вектора

a ×b

численно равна площади параллелограмма, построенного на векто-

рах a

и b .

uur

Запишем векторное произведение данных векторов (a +3b)×(3a +b)

и выполним преобразования

uur

(a +3b)×(3a +b)=3ar×ar

+ar×b +9b ×ar

×b .

Учитывая

свойства

векторного

произведения

×a

= 0

uur

×ar.

ar×br = −br×ar, получим (a +3b)×(3a +b)=8b

На основании определения векторного произведения, окончательно

uur

имеем Sпар =

+3b)×(3a +b)

b ×ar

sin (ar,b )=8 1

1 sin 30o

= 4

Ответ. Sпар = 4 .

ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

Задание 7.

Найти:

1.объем тетраэдра A1 A2 A3 A4 ;

2.высоту тетраэдра, опущенную из вершины A4 .

7.1A1 (1,3, 6), A2 (2, 2,1), A3 (−1, 0,1), A4 (−4, 6, −3)

7.2A1 (−4, 2, 6), A2 (2, −3, 0), A3 (−10,5,8), A4 (−5, 2, −4)

7.3A1 (7, 2, 4), A2 (7, −1, −2), A3 (3,3,1), A4 (−4, 2,1)

7.4A1 (2,1, 4), A2 (−1,5, −2), A3 (−7, −3, 2), A4 (−6, −3, 6)

7.5A1 (−1, −5, 2), A2 (−6, 0, −3), A3 (3, 6, −3), A4 (−10,6, 7)

7.6A1 (0, −1, −1), A2 (−2,3,5), A3 (1, −5, −9), A4 (−1, −6,3)

7.7A1 (5, 2, 0), A2 (2,5, 0), A3 (1, 2, 4), A4 (−1,1,1)

7.8A1 (2, −1, −2), A2 (1, 2,1), A3 (5,0, −6), A4 (−10,9, −7)

7.9A1 (−2, 0, −4), A2 (−1, 7,1), A3 (4, −8, −4), A4 (1, −4, 6)

7.10A1 (14, 4,5), A2 (−5, −3, 2), A3 (−2, −6, −3), A4 (−2, 2, −1)

7.11A1 (1, 2, 0), A2 (3,0, −3), A3 (5, 2, 6), A4 (8, 4, −9)

7.12A1 (2, −1, 2), A2 (1, 2, −1), A3 (3, 2,1), A4 (−4, 2,5)

7.13A1 (1,1, 2), A2 (−1,1,3), A3 (2, −2, 4), A4 (−1, 0, −2)

7.14A1 (2,3,1), A2 (4,1, −2), A3 (6,3, 7), A4 (7,5, −3)

7.15A1 (1,1, −1), A2 (2,3,1), A3 (3, 2,1), A4 (5,9, −8)

7.16A1 (1,5, −7), A2 (−3,6,3), A3 (−2, 7,3), A4 (−4,8, −12)

7.17A1 (−3, 4, −7), A2 (1,5, −4), A3 (−5, −2, 0), A4 (2,5, 4)

7.18A1 (−1, 2, −3), A2 (4, −1, 0), A3 (2,1, −2), A4 (3, 4,5)

7.19A1 (4, −1,3), A2 (−2,1,0), A3 (0, −5,1), A4 (3, 2, −6)

7.20A1 (1, −1,1), A2 (−2, 0,3), A3 (2,1, −1), A4 (2, −2, −4)

7.21A1 (1, 2, 0), A2 (1, −1, 2), A3 (0,1, −1), A4 (−3,0,1)

7.22A1 (1,0, 2), A2 (1, 2, −1), A3 (2, −2,1), A4 (2,1, 0)

7.23A1 (1, 2, −3), A2 (1,0,1), A3 (−2, −1, 6), A4 (0, −5, −4)

7.24A1 (3,10, −1), A2 (−2,3, −5), A3 (−6, 0, −3), A4 (1, −1, 2)

7.25A1 (−1, 2, 4), A2 (−1, −2, −4), A3 (3, 0, −1), A4 (7, −3,1)

7.26A1 (0, −3,1), A2 (−4,1, 2), A3 (2, −1,5), A4 (3,1, −4)

7.27A1 (1,3, 0), A2 (4, −1, 2), A3 (3, 0,1), A4 (−4,3,5)

7.28A1 (−2, −1, −1), A2 (0,3, 2), A3 (3,1, −4), A4 (−4, 7,3)

7.29A1 (−3, −5, 6), A2 (2,1, −4), A3 (0, −3, −1), A4 (−5, 2, −8)

7.30A1 (2, −4, −3), A2 (5, −6, 0), A3 (−1,3, −3), A4 (−10, −8,7)

Задание 8.

Решить задачу:

8.1.	Докажите	что точки A(1; −1;1), B (1;3;1),C (4;3;1), D (4; −1;1)				являются вершинами
	прямоугольника. Вычислите длину его диагоналей.								uuur
8.2.	Вычислите проекцию		вектора	ar(−3;1;3) на направление			вектора			где
									AB ,
	A(7;3; −2), B (8; 2; −2).						r	r	r
8.3.	Найдите	единичный	вектор,	перпендикулярный	векторам					и
							a	= i + j +2k
	br = 2ir+ rj +kr .
8.4.	Лежат ли точки A(5;7; −2), B (3;1; −1),C (9; 4; −4), D (5;1;0) в одной плоскости?
8.5.	В прямоугольном треугольнике угол при вершине A				равен	60o , а длина гипотену-
					uur	uuur		uuur
	зы равна 2.вычислите скалярное произведение векторов AC					и AB + BC .
8.6.	Найдите координаты вектора p , коллинеарного вектору					qr =(3; −4;0),			если из-

вестно, что вектор pr образует с осью Ox тупой угол и pr =10 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.20163.08 Mб68Типовик 3 модуль.doc
#
20.03.2016117.25 Кб34типовик 7 модуль.doc
#
14.04.20151.22 Mб171Типовик матан 5 модуль.pdf
#
21.03.201616.17 Mб21Типовик по матану 3 семестр.pdf
#
21.03.201648.03 Mб117Типовик_мат_6модуль.pdf
#
14.04.2015988.75 Кб17ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ДЛЯ ЭКОНОМ СПЕЦ 1-2 модуль.pdf
#
14.04.20151.14 Mб21Типовые расчеты.pdf
#
21.03.2016843.71 Кб7типовые расчеты.pdf
#
20.03.201634.92 Кб57ТЛТ.docx
#
14.04.201565.07 Кб11ТО_Л-1.docx
#
01.08.201947.62 Кб3товарные потери 37 вопрос.doc