Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ДЛЯ ЭКОНОМ СПЕЦ 1-2 модуль

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

988.75 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

8. Если A B и B A существуют, то можно ли утверждать, что это матрицы одного размера?

9.Может ли произведение двух ненулевых матриц быть нулевой матрицей?

10.Могут ли совпадать матрицы A и AT ?

11.Чем отличается минор M54 от алгебраического дополнения A54 ?

12.Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы быть равными соответствующим минорам?

13.Верно ли что если det A =0 , то det A−1 =0 ? Если det A = 2 , то det A−1 = −2 ? Если det A = 2 , то det A−1 = 0,5 ?

14.Пусть матрица A содержит минор пятого порядка, отличный от нуля. Что можно сказать о ранге матрицы?

15.Чему равен определитель треугольной матрицы?

16.Может ли ранг матрицы быть равным 0 ? Меньше 0 ? Равен 2,5 ? 17.Может ли ранг матрицы A7×3 равняться четырем?

18.Пусть A квадратная матрица 7-го порядка. Что можно сказать о ранге матрицы A, если det A =0 ?

19.Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней одной произвольной строки?

20.Какие еще методы построения обратной матрицы известны?

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Задание 2. В этом задании надо решить систему трех линейных уравнений

2.1по формулам Крамера;

2.2матричным методом;

2.3методом Гаусса.

2x − y − z = 4

Дано. 3x + 4 y −2z =11.3x −2 y + 4z =11

Решение.

1. Запишем матрицу системы и столбец свободных членов

	2	−1	−1		4
	3	4	−2
A =	3	4	−2	, B = 11
	3	−2	4
	3	−2	4	11

Вычислим определитель этой матрицы и проверим, что матрица не вырожденная (см. Задание 1.3), поскольку только в этом случае могут быть

использованы формулы Крамера.

	2	−1	−1
	2	−1	−1
=	3	4	−2	= 60 ≠ 0 .
	3	−2	4

Составим и вычислим определители неизвестных. Для этого в определителе системы столбец коэффициентов данного неизвестного заменим столбцом свободных членов.


				4				−1	−1
				4				−1	−1
x =				11			4		−2			=180,
				11				−2	4
					2		4		−1
					2		4		−1
y		=			3		11		−2		=60 ,
					3		11		4
z =			2					−1	4	=60 .
			2					−1	4
			3				4		11
			3					−2	11
Вычислим												значения		неизвестных	по	формулам
x = x , y =						y		, z = z .
x = x , y =								, z = z .
x =	180						=3 ,		y = 60 =1, z =				60	=1.
	60								60				60
2. Запишем									систему уравнений в матричном						виде	AX = B , где

X = y столбец неизвестных. Тогда решение системы находим по форму-

ле X = A−1B .

Для этого построим обратную матрицу A−1																									(см. Задание 1.4).
						12			6	6			5			10					10
														1			1				1
A	−1			1		−18			11	1					3	11				1
		=									=		−			60							и	умножим ее на матрицу-
		=									=		−		10	60					60		и	умножим ее на матрицу-
			60												3	1				11
						−18			1	11			−							60
						−18			1	11			−		10		60			60
столбец свободных членов (см. задание 1.2).
						5				10		10	4							12 6 6 4
								1		1		1
X = A				−1	B				3	11	1								1
						=	−			60			11			=						−18 11 1 11				=
						=	−		10	60		60	11			=		60				−18 11 1 11				=
							−		3	1	11							60				−18
											60		11											1	11 11
									10	60	60		11											1	11 11
																			11

			1		48 +66 +66					1	180			3
			1							1
=					−72 +121 +11 =							60	=	1	.
=		60			−72 +121 +11 =					60		60	=	1	.
		60			−72 +11 +					60		60		1
					−72 +11 +				121			60		1
3. Расширенная матрицы системы имеет вид
	2			−1		−1		4
	2			−1		−1		4
	3			4		−2
	3			4		−2		11
	3			−2		4
	3			−2		4		11
Выполним следующие элементарные преобразования, не меняющие
ранг матрицы:
а) Вычтем из третьей строки первую
	2			−1		−1	4 III − I				1	−1	5		7
	2			−1		−1	4 III − I				1	−1	5		7
	3		4 −2						I		2	−1	−1		4
	3		4 −2				11		I	~	2	−1	−1		4
	3			−2 4					II		3 4		−2
	3			−2 4			11		II		3 4		−2		11

б) Умножим первую строку на −2 и сложим со второй, затем умно-

жим первую строку на −3 и сложим с третьей. В этом случае в позициях
(2,1) и	(	3,1)	получим нули
1 −1 5				7				1 −1 5					7
1 −1 5				7				1 −1 5					7
	2	−1 −1							0 1			−11	−10
	2	−1 −1		4		(−2) I + II ~			0 1			−11	−10
	3	4	−2			(−3) I + III			0		7	−17	−10
	3	4	−2	11		(−3) I + III			0		7	−17	−10
в) Используя					ту же процедуру, получим ноль в позиции (3,2)
	1	−1 5			7						1	−1 5		7
	1	−1 5			7						1	−1 5		7
	0 1 −11				−10						0 1 −11			−10
	0 1 −11				−10					~	0 1 −11			−10
	0	7	−17		−10						0	0 60			60
	0	7	−17		−10		(−7) II + III				0	0 60			60
Основная матрица системы приведена к диагональному виду.
г) Запишем получившуюся систему уравнений
x − y +5z =7
		y −11z = −10
		y −11z = −10
			60z =60
			60z =60

д) Из последнего уравнения найдем z = 6060 =1. Подставим его во второе уравнение и вычислим y = −10 +11 1 =1, а затем и x = 7 +1 −5 1 =3 .

2 3 −1 −1 = 4

Проверка. 3 3 + 4 1 −2 1 =11

3 3 −2 1 +4 1 =11

Ответ. x =3, y =1, z =1.

Задание 3. В этом задании необходимо построить фундаментальную систему решений и общее решение однородной линейной системы алгебраических уравнений.

	x −3x − x + x =0
	1	2	3	4
Дано. 2x1		− x2 −2x3 +3x4 =0 .
x + 2x			− x	+ 2x =0
	1	2	3	4

Решение.

Выпишем матрицу системы (столбец свободных членов состоит из нулей, поэтому его можно не рассматривать) и преобразуем ее по методу Гаусса (см. Задание 2.3).

	1	−3 −1	1		1 −3 −1				1	1	−3	−1 1
	2	−1 −2 3		(−2) I + II		0	5	0
					~				1	~	5	.
	1	2 −1	2	III − I		0	5	0		0		0 1
									1
Ранг полученной матрицы					r (A)= 2 . Поскольку число неизвестных

n = 4 < r (A), система имеет бесконечное множество решений.

Выберем базисный минор 10 11 , соответствующие ему неизвестные

будем считать главными (базисными) – x1, x4 , а остальные неизвестные

x2 , x3 – свободными. Обозначим x2 = c1, x3 = c2

Запишем систему, соответствующую преобразованной матрице, и выразим главные неизвестные через свободные.

x −3c −c + x =0								или			x =8c +c
1	1			2		4		или				1			1	2 .
	5c1				+ x4 =0						x4 = −5c1
Запишем решение системы в виде вектора
	x1					8c1 +c2							8			1
	x				c +0 c					= c				1			0	. Это общее решение систе-
X = 2		=				1		2		= c					+c			. Это общее решение систе-
					0 c1 +c2							1		0		2	1
	x3				0 c1 +c2									0			1
	x4				−5c1 +0 c2									−5			0
						8					1
						1					0
мы. Векторы X			1	=		1	, X	2	=		0		образуют фундаментальную систему ре-
			1			0		2			1
						0					1
						−5					0
															13

шений.

x1		8			1
x	=C	1	+C		0
Ответ. 2	=C		+C			.
	1	0		2	1
x3		0			1
x4 2		−5			0

ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

Задание 2.

Решить систему линейных уравнений

1.по формулам Крамера;

2.матричным методом;

3.методом Гаусса.

2.1	x +4 y − z = −9			2.2	x +2 y − z = 7

	4x − y +5z = −2				2x − y + z = 2
		3y −7z = −6					+2z = −7
		3y −7z = −6			3x −5y		+2z = −7
2.4	x +4 y − z =6			2.5	3x −2 y +4z = 21
		5y +4z = −20					−2z =9
		5y +4z = −20			3x +4 y		−2z =9
						2x − y − z =10
	3x −2 y +5z = −22					2x − y − z =10
2.7	2x − y +2z =8			2.8	2x − y −3z = −9
		x + y +2z =11				x +5y	+ z = 20
		x + y +2z =11				x +5y	+ z = 20
							+2z =15
	4x + y +4z = 22				3x +4 y		+2z =15
2.10	2x +3y + z =12			2.11	2x + y +3z = 7
		2x + y +3z =16				2x +3y + z =1
		2x + y +3z =16				2x +3y + z =1
		3x +2 y + z =8					+ z =6
		3x +2 y + z =8			3x +2y		+ z =6
2.13	8x +3y −6z = −4			2.14	2x − y +3z = −4
		x + y − z = 2
		x + y − z = 2			x +3y − z =11
		4x + y −3z = −5
		4x + y −3z = −5			x −2y +2z = −7
2.16	8x +3y −6z =12			2.17	x −2 y +3z = −1
		x + y − z = −2					−4z =12
		x + y − z = −2			2x +3y		−4z =12
		4x + y −3z =9				3x −2 y	−5z =5
		4x + y −3z =9				3x −2 y	−5z =5
2.19	x +5y + z = −3			2.20	−3x +5y +6z = −8
		2x − y −3z = 0
		2x − y −3z = 0			3x + y + z = −4
						x −4 y	−2z = −9
	3x +4 y +2z =1					x −4 y	−2z = −9
2.22	4x − y		= −6	2.23	5x +2 y −4z = −16
		3x +2 y +5z = −14				x	+3z = −6
		3x +2 y +5z = −14				x	+3z = −6
						2x −3y + z =9
	x −3y +4z = −19					2x −3y + z =9
							14

2.33x − y + z =12x +2y +4z = 65x + y +2z =3

2.64x + y +4z =192x − y +2z =11x + y +2z =8

2.93x − y + z =95x + y +2z =11x +2 y +4z =19

2.122x − y +2z =3x + y +2z = −44x + y +4z = −3

2.153x −2 y +4z =12

3x +4 y −2z = 62x − y − z = −9

2.182x − y +2z =0x + y +2z = 44x + y +4z = 6

2.212x +3y + z = 42x + y +3z = 03x +2y + z =1

2.24x +4 y − z = −94x − y +5z = −23y −7z = −6

2.25	2x +4 y + z = 4		2.26		2x + y −z = 0		2.27	2x		+ z = 6
					x − y −3z =13					= −2
	3x +6 y +2z = 4				x − y −3z =13			3x −4 y		= −2
						= −15			2 y	− z = 2
	4x − y −3z =1			3x −2 y +4z		= −15			2 y	− z = 2
2.28	2x −3y +3z = −10		2.29	2x + y − z =5			2.30	x − y + z = 6
		x +3y −3z =13				=8			x −2 y	+ z =9
		x +3y −3z =13		3x +3y −2z		=8			x −2 y	+ z =9
		+ z =1
	x	+ z =1		x + y + z = 6				x −4 y −2z =3

Задание 3.

Построить фундаментальную систему решений и общее решение однородной

системы алгебраических уравнений.
3.1		2x −3x					+ x				−5x					= 0		3.2		x −2x				+ x		+3x					= 0
		1		2				3						4						1			2	3					4
	−x1 −x2 +6x3 −11x4 = 0																		−2x1 +5x2 +6x3 −12x4 = 0
		3x			−3x					+			2x			= 0				5x	+9x			+13x				+	9x = 0
		1						3						4						1			2				3					4
3.3		x +4x						−3x					+4x				= 0	3.4	2x +5x			2	+ x +2x							= 0
			1				2				3					4				1		2		3				4
	−3x1 −10x2 +7x3 −7x4 = 0																			x1		− x3 +3x4 = 0
		−2x		−6x				+4x						−	3x = 0				−x −5x				−2x			+ x				= 0
			1				2				3						4			1		2		3				4
3.5	2x −3x						− x		+2x							= 0		3.6		4x − x		+ x −2x							= 0
		1		2				3						4						1	2			3				4
		2x1					+5x3 + x4 = 0														x2 +5x3 −8x4 = 0
				3x		+		4x			− x					= 0			2x			+		3x	−		5x			= 0
				2				3						4						1				3				4
3.7		2x +3x						−2x						+ x			= 0	3.8		3x +5x			+ x		+2x						= 0
			1				2				3					4				1		2		3				4
		x1 + x2 +3x3 −5x4 = 0																		x1 −4x2 +2x3 − x4 = 0
	−3x			−5x				+7x						−7x			= 0		7x +6x				+4x			+3x						= 0
			1				2				3					4				1		2		3					4
3.9	9x +8x						+7x				+6x					4	=0	3.10	−2x +4x					−2x				−6x = 0
		1		2				3								4				1			2			3					4
	3x1 +2x2 + x3																=0				x2 +3x3 −2x4 = 0
	x		+ x				+ x				+ x						=0			2x	−3x			+5x			+4x					= 0
		1		2				3								4				1		2			3					4
3.11	2x +8x						+3x				+2x						= 0	3.12		9x		−7x +13x									= 0
		1		2				3								4					2			3				4
		−x1 + x2 +2x3 −3x4 = 0																	x1 −4x2 +3x3 −5x4 = 0
		3x1 +7x2 + x3 +5x4 = 0
		3x1 +7x2 + x3 +5x4 = 0																	3x1 −3x2 +2x3 −2x4 = 0
3.13	−x + x +2x									−5x						= 0		3.14	5x					+ x						= 0
		1		2				3						4						1				3
		3x1 − x2 +3x3 −2x4 = 0																	−2x1 −x2						+2x4 =0
		4x	−2x				+ x		+			3x				= 0				8x − x		+		2x	+		2x			=0
		1		2				3						4						1	2			3				4
3.15	−5x −2x							−4x						+6x = 0				3.16		2x −x		−3x			+5x					=0
			1				2				3						4			1	2			3				4
		−3x1 +2x2 − x3 +5x4 = 0																		−x1 + x2 + x3 +4x4 =0
		2x		+4x				+3x						− x			= 0		−3x		+2x			+4x				−x			=0
			1				2				3					4				1			2		3				4
3.17		−x − x + x +8x													= 0			3.18		5x −2x			− x		+2x						= 0
		1		2				3						4						1		2		3				4
		2x1 + x2 −5x3 + x4 = 0																	2x1 −3x2 +4x3 −6x4 = 0
																				3x1 + x2 −5x3 +4x4 = 0
	3x1 +2x2 −6x3 −7x4 = 0																			3x1 + x2 −5x3 +4x4 = 0

3.19	6x +4x				+2x				+ x		= 0			3.20
		1	2			3				4
	x1		+3x3 −2x4 = 0
	5x +4x				− x		+			3x	= 0
		1	2			3				4
3.21		4x −3x			+2x					+5x			= 0	3.22
		1	2				3				4
	−2x1 +6x2					− x3 − x4 = 0
		2x	+3x			+ x			+4x				= 0
		1		2		3				4
3.23	2x − x									+4x			= 0	3.24
		1	2								4
		3x1 +2x2 −5x3 +6x4 = 0
	x +3x			−		5x		+2x			= 0
		1	2			3				4
3.25	3x +2x				−2x				−6x			= 0		3.26
		1	2			3				4
		4x1 − x2				− x3 −4x4 = 0
	x +		4x	+		3x	−2x				= 0
		1	2			3				4
3.27		3x +5x			−4x					+2x			= 0	3.28
		1		2				3			4
		2x1 +4x2 −6x3 +3x4 = 0

	11x1 +17x2 −8x3 +4x4 = 0
3.29	−x + x +2x						−5x				= 0			3.30
		1	2			3				4
		3x1 − x2 +3x3 −2x4 = 0
		4x −2x			+ x		+3x				= 0
		1	2			3				4

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

7x −6x +3x −2x = 0
	1		2	3			4
	2x1			+3x3 +6x4 = 0
	5x	+6x				+8x = 0
	1		2				4
	5x −8x +3x −2x = 0
	1		2		3		4
−x1 +7x2				− x3 +8x4 = 0
	4x		− x	+2x		+6x = 0
	1		2	3			4
	5x −2x + x − x = 0
	1		2	3			4
	2x1			−3x3 +5x4 = 0

3x1 −2x2 +4x3 −6x4 = 0
	2x −4x +5x +3x = 0
	1			2		3	4
3x1 −6x2				+4x3 +2x4 = 0
	4x	−8x		+17x			+11x = 0
	1		2			3	4
	4x − x + x −2x = 0
	1		2	3			4
			x2 +5x3 −8x4 = 0
2x			+3x		−		5x = 0
	1			3			4

−5x −2x −4x +6x = 0
	1	2	3	4
	−3x1 +2x2 − x3 +5x4 = 0
	2x	+4x	+3x	− x = 0
	1	2	3	4

1.К какой системе линейных уравнений применимо правило Крамера?

2.Применим ли метод обратной матрицы к неопределенной системе линейных уравнений?

3.Может ли неопределенная система линейных уравнений быть несовместной?

4.Что называется общим решением системы линейных уравнений?

5.Может ли система, содержащая семь уравнений с пятью неизвестными, быть эквивалентной системе четырех уравнений с пятью неизвестными?

6.Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместной?

7.Что называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений?

8.Сколько решений содержит фундаментальная система решений однородной системы уравнений с шестью неизвестными, имеющая ранг 4?

9.Какова структура общего решения системы линейных неоднородных уравнений?

10.К системе уравнений дописали произвольное уравнение. Как при этом изменится множество решений?

11.Из несовместной системы линейных уравнений удалили одно уравнение. Будет ли полученная система совместной?

12.Могут ли быть эквивалентными две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестным, но разным числом уравнений?

13.Может ли частное решение системы линейных уравнений совпадать с ее общим решением?

14.Может ли однородная система линейных уравнений иметь ровно одно решение? Ровно два?

Тема 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Задание 4. В этом задании даны векторы p,qr,rr и вектор xr. Необходимо:

4.1выяснить, образуют ли векторы p,qr,rr базис;

4.2если образуют, то разложить вектор x по этому базису.

		0			3			−1				−15
Дано.	r		r		2	r		1	,	r		5
Дано.	p =	5	, q	=	2	, r	=	1	,	x	=	5	.
		1						0				6
		1			−1			0				6

Решение.

1. Любые три линейно независимых вектора пространства образуют базис. Для линейной независимости векторов p, qr,rr, необходимо и доста-

точно,		чтобы			равенство					λ1 pr + λ2qr +λ3rr = 0				выполнялось только при
λi = 0,i =1, 2,3 . Запишем это равенство в виде
		0			3				−1 0
λ		5		+λ		2	+λ			1	=	0 .
	1			2				3
										0
		1				−1				0		0
Оно эквивалентно системе уравнений
				3λ2 −λ3 =0
5λ1 + 2λ2 +λ3 =0 .
		λ	−λ			=0
		1		2
Преобразуем матрицу системы (см. Задание 2.3)
0 3 −1								1 −1 0 1 −1 0
	5		2		1			0	7				0 7 1	. Ранг r (A)=3 и совпадает с
	5		2		1	~		0	7		1	~	0 7 1	. Ранг r (A)=3 и совпадает с
	1		−1 0										0 10 0
	1		−1 0					0 3 −1					0 10 0

числом неизвестных, значит, система имеет единственное решение. Поскольку λ1 = λ2 = λ3 = 0 является решением системы, то других решений

нет. Таким образом, векторы p,qr,rr линейно независимы, а значит, обра-

зуют базис.

2. Разложить вектор по базису, значит найти числовые коэффициенты в выражении xr = λ1 pr + λ2qr + λ3rr. Как и ранее это выражение можно

представить в виде системы линейных уравнений

		3λ2 −λ3 = −15
5λ1 +2λ2 +λ3 =5
	λ	−λ	=6	, которая решается одним из выше рассмотреных
	1	2		, которая решается одним из выше рассмотреных
методов		(см.	Задание			2).	Выполнив вычисления, находим
λ1 = 2,λ2 = −4,λ3 = 3 т.е. xr					= 2 pr	−4qr	+3rr.

Ответ. Векторы pr,qr,rr образуют базис и x = 2 pr −4qr +3rr.

Задание 5. В этом задании дана матрица A линейного оператора. Необходимо:

5.1найти собственные числа матрицы A;

5.2собственные векторы соответствующие эти числам.

7	−12	6
	−19	10
Дано. A = 10	−19	10	.
	−24	13
12	−24	13

Решение.

1. Для нахождения собственных чисел составим характеристическое уравнение A −λE =0

7 −λ	−12	6
7 −λ	−12	6
10	−19 −λ	10	=0.
12	−24	13 −λ

Для его упрощения выполним ряд действий:

а) ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на 2

7 −λ	2 −2λ	6
7 −λ	2 −2λ	6
10	1−λ	10	=0
12	0	13 −λ

б) из второго столбца вынесем общий множитель 1 −λ

(1−λ)	7 −λ	2	6	=0
	7 −λ	2	6
	10	1	10
	12	0	13 −λ

в) прибавим к первой строке вторую, умноженную на −2

(1−λ)

−λ −13

−14

13 −λ

г) разложим определитель по второму столбцу

(1−λ)

−λ −13

−14

=0 или (1−λ)((13 −λ)(−13

−λ)+168)=0 .

13 −λ

В результате преобразований получим уравнение (1−λ)

(

λ2

)

=0 .

−1

Его корни λ1,2

=1,λ3

= −1 являются собственными числами матрицы A.

2. Найдем собственные векторы, соответствующие собственным числам из условия (A −λi E)xri =0

а) λ1,2 =1. В этом случае матрица однородной системы принимает

вид

6 −12 6 : 6

1 −2 1

−20

−2

~ (1

−2

1).

A −λE = 10

:10 ~ 1

−24 12

:12

−2 1

Ранг r (A −λE)=1 < n =3 . Решаем систему (см. Задание 3) и получа-

ем собственный вектор:

2c −c

−1

б) λ3 = −1. Аналогично, решаем однородную систему

8 −12 6

4 −6 3 II − I

1 −3 2

−18

−9

1 −3

III − II ~

−24 14

6 −12 7

4 −6 3

1 −3 2

0 6 5

−6 3

r (A −λE)= 2 < n =3. После соответствующих преобразований полу-

чим вектор x =

−

Ответ.

Собственный

вектор,

соответствующий собственному

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.2016117.25 Кб39типовик 7 модуль.doc
#
14.04.20151.22 Mб186Типовик матан 5 модуль.pdf
#
21.03.201616.17 Mб25Типовик по матану 3 семестр.pdf
#
01.05.2025546.82 Кб1типовик.doc
#
21.03.201648.03 Mб140Типовик_мат_6модуль.pdf
#
14.04.2015988.75 Кб28ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ДЛЯ ЭКОНОМ СПЕЦ 1-2 модуль.pdf
#
14.04.20151.14 Mб31Типовые расчеты.pdf
#
21.03.2016843.71 Кб10типовые расчеты.pdf
#
20.03.201634.92 Кб62ТЛТ.docx
#
01.03.20251.41 Mб6ТММ 1 лист.doc
#
14.04.201565.07 Кб14ТО_Л-1.docx