pdm_06

Разностные функциональные операторы

Определение. Оператор – есть функция, которая отображает функции в функции.

Введѐм операторы

Ef(x) - ∆f(x) = f(x+1) – f(x+1) + f(x) = f(x).

Сучѐтом введѐнных операторов можно записать:

∆f(x) = f(x+1) – f(x) = E(f(x)) – f(x) = (E – I)(f(x)), где запись (E – I)(f(x)) означает E(f(x)) – I(f(x)).

Для операторов ∆, E, I возможно записать следующие соотношения:

∆ = E – I (E = ∆ + I) & (I = E – ∆).

В общем случае для конечных разностей справедлива операторная форма записи:

∆n(f(x)) = (E – I)n(f(x)).

21

Свойства конечных разностей

Теорема. Для действительного числа a и функций f и g, операторы ∆ и E обладают следующими свойствами:

1)∆(f + g) = ∆(f) + ∆(g) E(f + g) = E(f) + E(g)

2)∆(af) = a∆(f) E(af) = aE(f)

3)E∆ = ∆E

4)∆(a) = 0

E(a) = a

Доказательство.

1) ∆(f + g)(x) = (f(x+1) + g(x+1)) – (f(x) + g(x)) = (f(x+1) – f(x)) + (g(x+1) – g(x)) = = ∆f(x) + ∆g(x)

E(f + g)(x) = f(x+1) + g(x+1) = Ef(x) + Eg(x)

2)∆(af )(x) = (af(x+1) – af(x)) = a∆f(x) E(af )(x) = aEf(x)

3)E∆f(x) = E(f(x+1) – f(x)) = ∆Ef(x)

4)т.к. a = const. т.е. a не зависит от x E(a) = a и ∆(a) = a – a = 0

22

Сумма, произведение и частное

25

Производящие функции

Подробнее о производящей функции возможно посмотреть у Дж. Андерсона (см. список литературы).

26

Применение производящей функции для решения

рекуррентных отношений

Пример.

Найти функцию, заданную рекуррентным отношением:

a0 = 5;

ak = ak-1 + 3.

Запишем ak - ak-1 – 3 = 0.

Полагая, что: f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn + . . . и учитывая,

Кроме, того запишем производящую функцию, с коэффициентом 3 при каждом

Рекурсия в программировании

Зачастую при рекурсии удаѐтся получить решение некоторой задачи которое возможно выразить лаконичным формальным выражением. Если рекуррентная функция вызывается множество раз, то вычислительное устройство при каждом вызове функции копирует параметры функции, ! создаѐт для каждой вызванной функции новый набор локальных переменных и констант, сохраняет адрес возврата и параметры (набор переменных и констант) для каждой вызвающей функции. Таким образом происходит быстрое расходование оперативной памяти. Практика показывает, что если рекурсивный вызов происходит более 5-8 раз то применение рекурсии неэффективно с точки зрения расхода вычислительных ресурсов.

В каждом конкретном случае следует принимать решение о применении или исключении рекурсии на основе анализа алгоритмов и программ и методов оптимизации программного обеспечения.

28

Алгоритм Эвклида (рекурсивная реализация)

using namespace std;

// главная функция int main() {

uint k, n;

cout<<"Enter number:"<<endl; cout<<"k = ";

cin>>k; cout<<"n = "; cin>>n;

cout<<"GCD = "<<gcd(k,n)<<endl; // ожидаем нажатия клавиши ввод system("pause");

return 0;

}

//-----------------------------

В лекции 8 возможно найти нерекурсивную