pdm_06

Множество Мандельброта

Определение. Множество Мандельброта определено следующим рекурентным выражением: zn+1=zn2+c которое является ограниченным при z0=0, т.е. это такое множество для которого существует такое действительное R, что неравенство |zn+1|<R выполняется при всех натуральных n.

На комплексной плоскости множество Мандельброта возможно построить при помощи выражения:

Фрактальная геометрия нашла широкое применение в самых разных областях знаний человека.

11

Цепные дроби

Определение. Для конечной последовательности t0, t1, t2, . . . , tn действительных чисел, где n ≥ 0 и ti > 0 для i ≥ 1, определим конечную цепную

дробь [t0; t1, t2, . . . , tn] следующим образом:

[t0;] = t0;

[t0; t1] = t0 + 1/ t1;

[t0; t1, t2, . . . , tk]; = [t0; [ t1; t2, . . . , tn]] для 1 < k ≤ n.

Числа t0, t1, t2, . . . , tn называются неполными частными, или элементами цепной дроби. Цепная дробь [t0; t1, t2, . . . , tn] называется простой, если – целое число для каждого i, т.е. каждый элемент цепной дроби есть целое

число. Если x – действительное число и x= [t0; t1, t2, . . . , tn], то [t0; t1, t2, . . . , tn] есть представление числа x цепной дробью.

12

Для иррационального числа процесс разложения в цепную дробь можно продолжать бесконечно.

Разложение обыкновенных дробей в цепную дробь

Разложение рациональных функций в цепные дроби

Подходящие дроби

Определение. Числа [t0;], [t0; t1], … , [t0; t1, t2, . . . , tk], … , [t0; t1, t2, . . . , tn]

называют подходящими дробями цепной дроби [t0; t1, t2, . . . , tn]. Где [t0; t1, t2, . . . , tk] есть k-ая подходящая дробь при 0 ≤ k ≤ n.

Определение. Будем говорить, что две цепные дроби [t0; t1, t2, . . . , tn] и [b0; b1, b2, . . . , bm] равны почленно, если n=m и ti=bi при 0 ≤ i ≤ n.

Теорема. Пусть n – есть неотрицательное целое число и [t0; t1, t2, . . . , tn] – конечная цепная дробь, которая рекурсивно определяет конечные последовательности p0, p1, . . . , pn и q0, q1, . . . , qn следующим образом:

1)p0 = t0 q0 = 1

2)p1 = t0t1 + 1 q1 = t1

3)pk = pk-1tk + pk-2

qk = qk-1tk + qk-2 при 2 ≤ k ≤ n

Тогда qk > 0 и [t0; t1, t2, . . . , tk] = pk/qk при 0 ≤ k ≤ n.

15

Исчисления цепных и подходящих дробей

16

Разложение функции ex в цепную дробь

...

В частном случае,

17

Конечные разности

Определение. Конечная разность – есть разность между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве.

Определение. Первая разность, или разность первого порядка функции f,

обозначаемая ∆f определена следующим образом:

∆f(x) = f(x+1) – f(x),

где f(x) и f(x+1) есть значения функции f в соседних точках x и x+1, соответственно. Собственно тоже можно сказать для любых значений функции f(x+n) и f(x+n+1) в точках x+n и x+n+1, где x,n Z, а 1 – шаг разности.

Вторая разность, или разность второго порядка функции f, обозначаемая ∆f

определена следующим образом:

∆2f(x) = ∆(∆f(x)), т.е.:

∆2f(x) = ∆f(x+1) – ∆f(x) = (f(x+2) – f(x+1)) – (f(x+1) – f(x)) = f(x+2) – 2f(x+1) + f(x).

В общем случае n-ая разность, или разность n-го порядка, обозначается ∆nf(x) и определяется индуктивно выражением:

∆nf(x) = ∆(∆n-1f(x)).

18

Вычисление конечных разностей

20