Практическая работа №4 Тема: Определение критической частоты вращения круглой пилы

Цель работы: ознакомится с методикой экспериментального определения собственных частот и форм колебания круглой пилы и определить критические частоты вращения для 2-ой, 3-ей и 4-ой форм колебаний.

Задача: Выяснить с какой частотой вращаются пильные инструменты.

Содержание работы.

Из практики пиления круглыми пилами известно, что для экономически рационального их использования следует правильно назначить работу частоту вращения. При малой частоте вращения пилы снижается производительность пиления, а при слишком большой для данной пилы можно попасть в зону критических частот, когда пила окажется неработоспособной из-за потери поперечной жёсткости и следовательно, устойчивости.

Чтобы правильно выбрать рабочую частоту вращения пилы, нужно знать формы и частоты её собственных колебаний. Если диск закрепить во фланцах горизонтально и на поверхность диска насыпать мелких сухих опилок, то при возбуждении резонанс колебаний электромагнитном форме колебаний диска можно наблюдать визуально по образующимся опилочным фигурам на диске. Опилки постоянно съезжают с колеблющихся частей диска и концентрируются на не подвижных, «рисуя» таким образом форму колебаний.

Различают колебания без угловых линий – так называемые «?», колебания с узловыми диаметрами («веерные»), колебания с угловыми окружностями и комбинацией узловых окружностей и диаметров.

Каждой форме колебаний условно присвоен номер. Например, колебания без узловых линий – форма 0, колебания с одним узловым диаметром – форма 1, с двумя узловыми диаметрами – форма 2 и т.д.

Критические частоты вращения, возникающие по формам 2, 3, 4, являются наиболее опасными. По формам 0 и 1 могут возникнуть только резонансные колебания, которые также нежелательны из-за снижения качества поверхности распила и сильного шума, превышающие санитарные нормы.

Рассмотрим колебания неподвижного и вращающихся дисков.

Поверхность диска при колебаниях описывается уравнением:

y(x,φ,t) = F(x)sinwt*cosmφ (1)

где F(x) – функция, определяющая форму колебаний диска по радиусу;

m – число узловых диаметров;

w – круговая частота собственных колебаний;

w=2πf,

где f – частота;

y – прогиб диска в момент времени t на отрезке x радиуса, составляющего угол φ с некоторым начальным радиусом.

Проведём следующие преобразования уравнения (1).

Аргумент синуса в правой части уравнения умножим и разделим на m:

y(x,φ,t) = F(x)sinm(wt/m)*cosmφ (2)

Тогда по формулам тригонометрии уравнения (2) можно представить в виде:

y(x,φ,t) = 1/2F(x)sin((wt/m)-φ)+1/2F(x)sin((wt/m)+φ) (3)

т.е. колебания диска можно представить в виде двух бегущих цепей волн с одинаковой скоростью навстречу друг другу с амплитудой ½ F(x). Т.к. скорости и длины волн одинаковы, то волны складываются и образуются так называемые стоячие волны.

Угловая скорость бегущих цепей волн вокруг оси диска

W_b = w/m или n_b=f_cm/m, (4)

Где W_b- круговая частота вращения цепей волн, Гц;

F_cm- собственная частота волн, Гц;

n_b- частота вращения цепей волн, Гц;

При вращение диска частоты собственных колебаний несколько увеличивается от действия центробежных сил и могут быть определены по формуле:

F_дин=(5)

Где f_cm= частота собственных колебаний невращающегося диска;

n- частота вращения диска;

B – коэффициент.

На вращающемся диске наблюдается также две цепи волн, бегущих в противоположных направлениях со скоростью

n=f_дин/m (6)

Волна, движущаяся по направлению вращения диска, называется вперёд бегущей волной , а волна, движущая против направления вращения диска – назад бегущей волной.

По отношению к неподвижному наблюдателю вперёд бегущая цепь волн вращается со скоростью

n_в = (f_g/m)+n, (7)

а назад бегущая цепь волн вращается со скоростью

n_н=(f_g/m)-n, (8)

Частоты колебания для вперёд и назад бегущих цепей волн соответственно будут

f_в= n_в*m и f_н=n_н*m (9)

Подставляя в (9) выражения (7) и (8), найдём

f_в=((f_g/m)+n)*m = f_g+mn, (10)

f_н= ((f_g/m)-n)*m=f_g-mn (11)

Когда частота назад бегущей воны равна 0, на вращающимся диске образуются стоячие волны (по отношению к неподвижному наблюдателю, но не по отношению к вращающемуся диску).

Скорость вращения диска, при которой f_н= 0, называется критической. Тогда из (11) имеем:

f_g-mn_кр=0; n_кр=f_g/m (12)

Чтобы выразить критическую частоту вращения через статичиские частоты, нужно решить совместно уравнение (5) и (12).

После решения получим

n_кр=f_cm/ , (13)

Коэффициент B для данных размеров диска представлен в таблице.

m	0	1	2	3	4	5	6
B	1,36	1,62	2,2	3,67	5,8	8,55	11,87

Во время работы пильный диск нагревается неравномерно: периферия диска нагревается больше, чем центр. Образуется температурный перепад по радиусу диска ∆Т, который уменьшает частоты собственных колебаний по всем формам, за исключением формы 0. Объясняется это уменьшением модуля упругости материала диска при нагреве и влиянии значительных сжимаемых температурных в нериферийной зоне диска. С учётом температурного ∆Т частоты собственных колебаний диска определяются по формуле.

(14)

Где fcm – частота собственных колебаний диска с учётом изменения по радиусу модуля упругости;

С – коэффициент, зависящий от размера диска и формы колебаний.

Большим температурном перепаде по радиусу диска частоты собственных колебаний могут понизится до нуля и диск окажется неработоспособным. Для уменьшения влияния температурного перепада диск подвергают проковке в центральной зоне, охлаждают водой или водовоздушной смесью периферию диска, делают прорези в преферийной зоне.

Экспериментальное определения частот и форм собственных колебаний диска.

Экспериментальная установка состоит из фланцев 1, закреплйнного между ними диска 2 и электромагнита 3, подключённого к генератору звуковой частоты 4 (рис 3)

На поверхность диска насыпать равномерно немного мелких опилок. Включить генератор звуковой частоты и, медленно и плавно вращая ручки настройки генератора, возбудить резонансные колебания поочерёдно по всем формам (1,2,3,4,), начиная с формы 0.

При максимальных резонансных колебаниях диска по каждой форме записать в таблицу значения частот, считывая их со шкалы генератора. По формуле (5) вычислить частоты собственных колебаний вращающегося диска для всех указанных форм при n= 25, 50, 75, 100, 125 с^-1, По формуле (11) вычислить частоты f_н назад бегущих волн для тех же n. Результаты занести в таблицу. По её данным построить график на резонансной диаграмме (рис.. 4) и определить точки пресечения f_н с линией абсцисс, которые и будут являться критическими частотами вращения. По формуле (13) вычислить критические частоты для форм 2, 3, 4 и сравнить с полученными из графика.

Рабочую частоту вращения круглых пил назначают с учётом их размеров и влияния температурного перепада таким образом, чтобы она была меньше самой критической частоты на 30%.

Контрольные вопросы.

1. Для чего необходимо знать критическую частоту вращения диска?

2. Как определяется критическая частота вращения диска?

3. По каким формам колебаний могут возникнуть критические частоты?

4. Как влияет на критическую частоту вращения нагрев перефирийной зоны диска?

5. Какие способы существуют для уменьшения влияния температурного перепада по радиусу диска?

6. Почему нельзя работать при критической частоте вращения диска?