6. Запись результатов измерений

На основании изложенного в предыдущих параграфах сформулиру-ем правила записи результатов измерений.

1. Результат измерений записывается вместе с погрешностью и до-верительной вероятностью (надежностью).

Правильно:	Неправильно:
m = (40,12  0,04) г; Р=0,95	m = 40,12 г

2. При записи погрешности ограничиваются одной значащей циф-рой.

Правильно:	Неправильно:
t = (42,4  0,2) c	t = (42,4  0,218) с

3. Если в погрешности первая значащая цифра единица, то после нее сохраняется еще одна, а в результате — две сомнительные цифры.

Правильно:	Неправильно:
h = (21,45  0,12) мм	h = (21,45 0,1) мм

4. Последняя цифра результата и последняя цифра его абсолютной погрешности должны принадлежать к одному и тому же десятичному разряду.

Правильно:	Неправильно:
v = (12,3  0,4) м/с	v = (12,285  0,4) м/с

5. Если в ответе содержится множитель вида 10ⁿ, то показатель степени п и в результате, и в его абсолютной погрешности должен быть одинаковым.

Правильно:	Неправильно:
R = (1,24  0,03)105 Ом	R = (1,24105  3103) Ом

6. Измеренная величина и ее абсолютная погрешность выражаются в одних единицах измерений.

Правильно:	Неправильно:
I = (0,240  0,005) А	I = 0,240  5 mA

7. Математические действия над приближенными числами

Обрабатывая результаты измерений, выполняют различные мате-матические операции (сложение, вычитание, умножение и т. д.) над при-ближенными числами. Приближенный характер исходных данных ограни-чивает точность получаемого результата (результат тоже будет прибли-женным числом). Пытаться путем расчетов получить результат с точно-стью большей, чем это допускают исходные данные задачи, бессмыслен-но. Например, для измерения длины какого-либо предмета использовалась линейка с миллиметровыми делениями; получены следующие результаты: 121, 121, 122, 121, 122, 121 мм. При определении окончательного ответа

не имеет смысла писать l=121,3 мм или l=121,33 мм. Ведь длина предмета ни в одном из опытов не измерялась до десятых или сотых долей милли-метра, а предполагать их все равными нулю (только при таком предполо-жении получается l=121,3 мм или l=121,33 мм) нет никаких оснований. Для повышения точности результата необходимо повысить точность изме-рений (например, использовать более точный прибор), а не пытаться это сделать с помощью карандаша и бумаги.

Для того, чтобы определить, сколько значащих цифр следует сохра-нять в результате, необходимо найти его абсолютную погрешность. Одна-ко если бы пришлось рассчитывать погрешность каждого промежуточного результата вычислений, то любая, даже самая простая задача стала бы очень громоздкой. Поэтому в подобных случаях поступают иначе: пользу-ются правилами приближенного определения количества сохраняемых значащих цифр при различных математических операциях.

1. Сложение и вычитание. Прежде всего слагаемые записывают в форме без множителя в виде десяти в какой-либо степени или с множи-телем одной и той же степени (этот множитель выносится за скобки). Оп-ределяют те разряды, в которых в каждом из слагаемых стоят сомнитель-ные цифры. Находят из этих разрядов самый старший. Сомнительная циф-ра в сумме (разности) будет стоять в этом же разряде. Поэтому при сложе-нии или вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько таковых в слагаемом с наименьшим их количеством.

При суммировании большого количества приближенных чисел надежность последней цифры результата может и уменьшиться и даже стать сомнительной цифра более высокого разряда. Поэтому рассмат-риваемые правила являются приближенными.

При вычитании двух близких по величине чисел в результате может не оказаться ни одной верной цифры. Такой результат весьма ненадежен и поэтому подобных ситуаций надо избегать. К примеру, толщину стенки трубки можно определить как половину разности ее внешнего и внутрен-него диаметров. Если стенки тонкие, т.е. диаметры почти одинаковые, то из-за погрешностей измерений, эллиптичности сечения трубки и других причин результат будет весьма неточным и может получиться даже отри-цательным. В подобном случае толщину стенки следует измерять непос-редственно.

Если вычитанне неизбежно, то необходимо повысить точность ис-ходных данных.

2. Умножение и деление. При умножении и делении приближенных чисел с одинаковым количеством значащих цифр в результате следует сохранять столько же значащих цифр.

В общем случае, когда количество значащих цифр в сомножителях различно, в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько в сомножителе с наименшим их количеством.

3. Возведение в степень. Поскольку возведение в степень пред-ставляет собой произведение одинаковых сомножителей, то в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в сте-пень приближенное число. Надежность последней цифры результата при возведении в степень, как и при умножении, меньше, чем последней циф-ры основания. Причем это сказывается тем заметнее, чем больше показа-тель степени.

4. Извлечение корня. При извлечении корня любой степени из при-ближенного числа в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении. Например, 5,208 = 2,282.

5. Логарифмирование. В мантиссе (независимо от характеристики) логарифма приближенного числа сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеет само число. Аналогичное правило справедливо и при на-хождении числа по его логарифму: количество значащих цифр в искомом числе должно быть равным их количеству в мантиссе. Например, lg 22,15 = 1,3454; если 1g х = 0,649, то x = 4,46.

6. Правило запасной цифры. В промежуточных результатах, т.е. в тех приближенных числах, которые используются в последующих расчетах, для уменьшения в дальнейшем влияния ошибок округления следует со-хранять на одну значащую цифру больше, чем это рекомендуется выше-изложенными (см. пп. 1–5) правилами. В окончательном результате эта «запасная» цифра отбрасывается. Правило запасной цифры следует ис-пользовать также и в исходных данных каждой задачи, если они, конечно, это позволяют.