- •Л.В. Маркова, е.А. Корчевская,
- •С о д е р ж а н и е
- •П р е д и с л о в и е
- •Глава 1 Элементы теории погрешностей п 1.1 Источники погрешностей
- •П 1.2 Вычисление абсолютной и относительной погрешностей
- •П 1.3 Округление чисел
- •П 1.4 Вычисление погрешностей арифметических операций
- •П 1.5 Оценка погрешности по способу границ
- •Лабораторная работа № 1
- •Задание
- •Глава 2 объектно-ориентированный подход к программированию методов линейной алгебры
- •П 2.1 Создание матричной иерархии классов
- •Лабораторная работа № 2
- •Задание
- •П 2.2 Создание иерархии классов вычислительных методов алгебры
- •Лабораторная работа № 3
- •Задание
- •Глава 3 решение систем линейных алгебраических уравнений
- •П 3.1 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 4
- •Задание
- •П 3.2 Метод Гаусса с выбором главного элемента для решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 5
- •Задание
- •П 3.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса
- •Лабораторная работа № 6
- •Задание
- •П 3.4 Метод квадратного корня для решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 7
- •Задание
- •П 3.5 Вычисления определителя и нахождения обратной матрицы
- •Лабораторная работа № 8
- •Задание
- •П 3.6 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом прогонки
- •Лабораторная работа № 9
- •Задание
- •П 3.7 Метод простых итераций решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 10
- •Задание
- •П 3.8 Метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 11
- •Задание
- •П 3.9 Итерационные методы вариационного типа решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 12
- •Задание
- •Глава 4 вычисление собственных значений и собственных векторов матриц
- •П 4.1 Метод Данилевского для нахождения собственных значений и собственных векторов
- •Лабораторная работа № 13
- •Задание
- •П 4.2 Итерационный степенной метод нахождения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора
- •Лабораторная работа № 14
- •Задание
- •П 4.3 qr-алгоритм для нахождения собственных значений матрицы
- •Лабораторная работа № 15
- •Задание
- •П 4.4 Метод Якоби для нахождения собственных значений и собственных векторов
- •Лабораторная работа № 16
- •Задание
- •П р и л о ж е н и я Приложение 1 Основные сведения о матрицах
- •Функции MathCad
- •Л и т е р а т у р а
- •Красоткина вычислительные методы алгебры. Практикум
- •2 10038, Г. Витебск, Московский проспект, 33.
П 1.4 Вычисление погрешностей арифметических операций
Рассмотрим правило вычисления погрешностей арифметических операций и функций по погрешности аргументов (без учета ошибок округления). При вычислении абсолютных погрешностей обычно используются формулы дифференцирования, в которых дифференциалы независимых переменных заменяются абсолютными погрешностями: .
Пусть X1>0, X2>0 – точные значения величин, и заданы предельные абсолютные погрешности и, т.е.,. Необходимо найти погрешность суммы.
Так как дифференциал , то. Отсюда следует, что.
Теперь предположим, что X1>X2, и найдем погрешность разности . Тогдаи. Поэтому.
Абсолютная погрешность суммы и разности двух приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.
Это правило справедливо для произвольного числа слагаемых. Так если x1, x2, …, xn имеют одну и ту же погрешность , то погрешность суммы этих слагаемых будет равна . Но реально погрешности могут иметь разные знаки и поэтому взаимно компенсировать друг друга. По правилу Чеботарева при погрешность суммы можно принять равной[20].
Для относительной погрешности суммы и разности двух чиселполучаем
Для произвольного числа слагаемых
где , .
Пусть
Тогда
Поэтому
Аналогично при выполнении умножения и деления получаем погрешности (при тех же предположениях).
Найдем погрешность произведения :
Найдем погрешность частного :
Следовательно, относительная погрешность произведения двух чисел равна сумме относительных погрешностей его сомножителей.
Аналогичное правило выполняется и для частного от деления двух чисел.
Также получаются формулы для погрешностей арифметических действий при вычислении функций многих переменных. Так, для имеем следующие формулы для погрешностей [20]:
П 1.5 Оценка погрешности по способу границ
Способ границ применяется для оценки погрешности результата расчета по формуле, содержащей приближенные величины.
Пусть а – приближенное исходное данное, так что заданы его границы: . Нужно найти результату, зависящий от а и поэтому также приближенный: .
Найдем границы у, т.е. два таких числа и , что . Если результату увеличится с ростом а (например, площадь квадрата в зависимости от длины стороны), то, по определению границ, для любогои можно принять . Аналогично . Если у убывает с ростом а (например, давление воздуха с высотой), то и .
Для нахождения границ результата нужны два расчета по одному и тому же алгоритму с исходными данными и . Границы результата округляют так: – с недостатком, – с избытком. При этом в их записи сохранить все цифры до первой слева, отличие в которой и уже существенно.
Тогда значение у можем найти следующим образом:
.
А границы погрешности оцениваются:
.
Случай функции нескольких переменных.
Пусть a, b – исходные данные, известные приближенно:
, .
Если результат монотонно зависит от своих аргументов, то крайние его значения достигаются при некоторых комбинациях граничных значений исходных данных.
В общем случае следует провести 2 * 2 = 4 вычислений и выбрать из них пару: наибольший (ВГ(у)) и наименьший (НГ(у)) результаты. В случае трех исходных данных рассматривается 23 = 8 расчетов и т.д. задача упрощается, если из ее постановки ясен характер зависимости: рост или убывание хотя бы по одному аргументу.
Пример 1. Произвести расчет по заданной формуле для приведенных исходных данных. Рассчитать границы, погрешность и значение результата.
Проведем некоторые предварительные расчеты по длинной формуле. Выясним, как зависит функция G от а1, а2, Т1, Т2.
Зафиксируем а1, а2, Т1 и вычислим
G(1.22, 2.33, 4.61, 6.74) =1.946536,
G(1.22, 2.33, 4.61, 6.70) = 1.977531.
Видно, что с возрастанием T2 убывает функция G.
Зафиксируем ,,и вычислим
G(1.22, 2.33, 4.62, 6.72) = 1.964724,
G(1.22, 2.33, 4.60, 6.72) = 1.959158.
Видно, что G возрастает с ростом T1.
Зафиксируем ,,и вычислим
G(1.22, 2.332, 4.61, 6.72) = 1.964339,
G(1.22, 2.328, 4.61, 6.72) = 1.959528.
Видно, что G возрастает с ростом a2.
Зафиксируем ,,и вычислим
G(1.222, 2.33, 4.61, 6.72) = 1.960553,
G(1.218, 2.33, 4.61, 6.72) = 1.963309.
Видно, что с возрастанием a1 убывает функция G.
Найдем границы G:
ВГ(G) = G(НГ(а1), ВГ(а2), ВГ(Т1), НГ(Т2)) = 1.984156,
НГ(G) = G(ВГ(а1), НГ(а2), НГ(Т1), ВГ(Т2)) =1.940027.
Видно, что различие в третьей цифре уже существенно.
Округляем НГ – с недостатком, ВГ – с избытком.
ВГ(G) = 1.99,
НГ(G) =1.94.
Тогда ,.