- •Л.В. Маркова, е.А. Корчевская,
- •С о д е р ж а н и е
- •П р е д и с л о в и е
- •Глава 1 Элементы теории погрешностей п 1.1 Источники погрешностей
- •П 1.2 Вычисление абсолютной и относительной погрешностей
- •П 1.3 Округление чисел
- •П 1.4 Вычисление погрешностей арифметических операций
- •П 1.5 Оценка погрешности по способу границ
- •Лабораторная работа № 1
- •Задание
- •Глава 2 объектно-ориентированный подход к программированию методов линейной алгебры
- •П 2.1 Создание матричной иерархии классов
- •Лабораторная работа № 2
- •Задание
- •П 2.2 Создание иерархии классов вычислительных методов алгебры
- •Лабораторная работа № 3
- •Задание
- •Глава 3 решение систем линейных алгебраических уравнений
- •П 3.1 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 4
- •Задание
- •П 3.2 Метод Гаусса с выбором главного элемента для решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 5
- •Задание
- •П 3.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса
- •Лабораторная работа № 6
- •Задание
- •П 3.4 Метод квадратного корня для решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 7
- •Задание
- •П 3.5 Вычисления определителя и нахождения обратной матрицы
- •Лабораторная работа № 8
- •Задание
- •П 3.6 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом прогонки
- •Лабораторная работа № 9
- •Задание
- •П 3.7 Метод простых итераций решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 10
- •Задание
- •П 3.8 Метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 11
- •Задание
- •П 3.9 Итерационные методы вариационного типа решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 12
- •Задание
- •Глава 4 вычисление собственных значений и собственных векторов матриц
- •П 4.1 Метод Данилевского для нахождения собственных значений и собственных векторов
- •Лабораторная работа № 13
- •Задание
- •П 4.2 Итерационный степенной метод нахождения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора
- •Лабораторная работа № 14
- •Задание
- •П 4.3 qr-алгоритм для нахождения собственных значений матрицы
- •Лабораторная работа № 15
- •Задание
- •П 4.4 Метод Якоби для нахождения собственных значений и собственных векторов
- •Лабораторная работа № 16
- •Задание
- •П р и л о ж е н и я Приложение 1 Основные сведения о матрицах
- •Функции MathCad
- •Л и т е р а т у р а
- •Красоткина вычислительные методы алгебры. Практикум
- •2 10038, Г. Витебск, Московский проспект, 33.
Лабораторная работа № 10
Цель: изучить метод простых итераций решения систем линейных алгебраических уравнений.
Задание
1. В классе «Итерационные методы решения СЛАУ» («IterationMethods») реализуйте метод простых итераций («simpleIterationMethod»). Для реализации методов используйте объекты и методы матричных классов «SquareMatrix», «Vector».
2. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом простых итераций () в соответствии с вариантом.
3. Решите те же задачи, используя пакет для математических вычислений.
4. Сравните результат выполнения п. 2 с решением, полученным в п. 3.
Варианты заданий
№ 1 |
№ 2 |
№ 3 |
№ 4 |
№ 5 |
№ 6 |
№ 7 |
№ 8 |
№ 9 |
№ 10 |
№ 11 |
№ 12 |
№ 13 |
№ 14 |
№ 15 |
№ 16
|
П 3.8 Метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим метод Зейделя [20]. Этот метод является модификацией метода простых итераций и приводит к более быстрой сходимости, т.е. для получения решения с заданной точностью требуется выполнить меньшее количество итераций, а следовательно потребуется меньше затрат машинного времени.
Имеем систему линейных алгебраических уравнений
. (1)
Приведем систему (1) к эквивалентному виду
.(2)
В методе Зейделя последовательность итерационных приближений строится по правилу
(3)
или в развернутом виде
(4)
Суть метода состоит в следующем: для вычисления первой компоненты вектора необходимо знать компоненты вектора . При нахождении второй компоненты вектора используются только что найденное значение и известные значения компонент вектора и т.д. Таким образом, при вычислении компоненты вектора неизвестных на (k+1)-й итерации используются , уже вычисленные на (k+1)-й итерации. Значения остальных компонент берутся из предыдущей итерации.
Вектор начального приближения можно выбирать произвольно. Возьмем в качестве начального приближения вектора неизвестных вектор правых частей, т.е. , тогда метод Зейделя можно записать следующим образом
,(5)
где P=G-D, Q=B-P.
Метод Зейделя (5) можно трактовать как разновидность общего итерационного процесса:
(6)
где .
Критерием сходимости метода Зейделя служит следующее утверждение [20]:
Для того чтобы метод Зейделя сходился при любом , необходимо и достаточно, чтобы , где все собственные значения матрицы F.
Применять данный критерий на практике неудобно, поэтому используют достаточные признаки сходимости:
1. Метод Зейделя сходится, если выполняется неравенство , где первая или вторая норма матрицы.
2. Для сходимости метода Зейделя достаточно чтобы , но хотя бы при одном i выполнялось условие .
Условие прерывания итерационного процесса имеет вид
, (7)
где заданная точность.
Если для одной и той же системы метод простой итерации и метод Зейделя сходятся, то последний предпочтительнее.
Области сходимости этих двух методов различны, т.е. существуют системы, для которых метод простой итерации сходится, а метод Зейделя – нет, и наоборот.
Пример 1. Методом Зейделя решить систему линейных уравнений с точностью .
Решение:
Приведение СЛАУ к эквивалентному виду аналогично приведению в методе простых итераций
Заметим, что , следовательно, условие сходимости метода (2) выполнено.
Зададим вектор начального приближения .
Выполним расчеты по формуле (4)
На первой итерации имеем систему
.
Условие окончания итерационного процесса не выполняется, значит продолжаем процесс. На второй итерации получаем
.
Условие окончания итерационного процесса не выполняется. Продолжаем итерировать.
На третьей итерации требуемая точность достигнута .