6.2. Структура корреляционного приемника

Выражение (6.12) выразим через энергии сигналов. Тогда правило приёма сводится к проверке системы неравенств:

(6.14)

где - энергия ожидаемого сигнала , Выражение (6.14) определяет те операции (алгоритм приёма), которые должен совершать оптимальный приёмник над входным колебанием.

Устройство, непосредственно вычисляющее скалярное произведение (или корреляционный интеграл):

(6.15)

называют активным фильтром или коррелятором, поэтому приемник, реали­зующий алгоритм (6.14), называют корреляционным.

Для двоичной системы алгоритм (6.14) сводится к проверке одного нера­венства

. (6.16)

Рис.6.6. Структурная схема корреляционного приемника

При выполнении неравенства (6.16) регистрируется символ "1", в против­ном случае "0".

На рис. 6.6 показана структурная схема приёмного устройства, работающе­го в соответствии с выражением (6.16).

Здесь блоки "" — перемножители; "-" — вычитающие устрой­ства.

Если сигналы выбраны таким образом, что все их реализации (а сле­довательно, и все реализации ) имеют одинаковые энергии³⁾ (E_i=const), алгоритм приёма (6.14) (и соответственно его реализация) упрощается (отпадает необходимость в вычитающих устройствах) и принимает вид

(6.17)

Из (6.17) видно, что правило решения не изменится, если сигнал z(t), по­ступающий на вход демодулятора, умножить на любое число. Поэтому систе­ма, в которой все реализации сигнала имеют равную энергию, отличается тем, что оптимальный алгоритм приёма в ней не требует знания "масштаба" прихо­дящего сигнала или, другими словами, знания коэффициента передачи у кана­ла. Эта особенность обусловила широкое распространение систем сигналов с равной энергией, что важно для каналов с замираниями, в которых коэффици­ент передачи флуктуирует (радиоканал).

6.3. Структура приемника с согласованными фильтрами

Скалярное произведение (6.15) можно вычислить не только с помощью ак­тивного фильтра (коррелятора), но и с помощью пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Если на вход фильтра подать принимаемый сигнал z(t), то напряжение на выходе фильтра в момент времени t=T_с

, (6.18)

где — импульсная характеристика (ИХ) фильтра. Выберем её такой, чтобы в момент получить значение , равное скалярному произведению:

. (6.19)

В выражении (6.19) произведена замена переменной . Следовательно .

Легко видеть, что (6.19) будет выполнено при следующем согласовании

или , . (6.20)

В общем случае согласованным фильтром для сигнала называют линейный пассивный фильтр с постоянными параметрами и ИХ

, (6.21)

где , t₀ — постоянные.

Функция является зеркальным отображением относительно оси, проведённой через точку t₀/2 (рис. 6.7). Для физической реализуемости фильтра необходимо и достаточно, чтобы = 0 при t < 0. В частности, для финитного сигнала , поступающего на вход фильтра в мо­мент t=0 и заканчивающегося в момент Т_с, условие физической реализуемо­сти согласованного фильтра заведомо выполняется, как видно из рис. 6.7, если постоянная t₀ (момент отсчёта) удовлетворяет условию

или .

Передаточная функция (частотная характеристика) согласованного фильтра с ИХ (6.21) определяется преобразованием Фурье

где - функция, комплексно-сопряжённая со спектральной плотностью сигнала . Следовательно, с точностью до коэффициента АЧХ согласован­ного фильтра определяется амплитудным спектром сигнала (т.е. фильтр лучше передаёт те частоты, которые дают больший вклад в энергию сигнала), а его фазо-частотная характеристика (без учёта слагаемого — t₀, определяемого задержкой t₀) обратна по знаку фазовому спектру сигнала . Благодаря этому в момент t₀ все составляющие спектра принимаемого сигнала складываются в фазе и дают максимальный отклик.

Рис. 6.8. Оптимальный демодулятор на основе согласованных фильтров

Согласно (6.18) в момент времени T_с напряжение на выходе согласованного фильтра пропорционально сигналу на выходе интегратора активного фильтра в схеме рис. 6.6.

Поэтому демодулятор, реализующий алгоритм (6.18), может быть выполнен и на базе согласованных фильтров. Структурная схема такого демодулятора для двоичной системы показана на рис. 6.8, где СФ_i - фильтр, согласованный с сигналом .

Отклик согласованного фильтра на финитный сигнал длительностью Т_с, поданный ко входу в момент времени 0, существует лишь на финитном интер­вале протяжённостью 2T_с. Действительно, если на вход фильтра подан сигнал, с которым он согласован, то сигнальная составляющая на выходе согласованно­го фильтра

где — функция корреляции (ФК) сигнала при аргументе . Для финитного сигнала она определена на интервале (0, 2T_с) и имеет максимум в точке t=t₀=Т_с. Подчерк­нём, что формы полезного сигнала на входе и выходе согласованного фильтра, как правило, существенно отличаются друг от друга. Задачей согласованного фильтра является не восстановление формы сигнала, искажённой шумом, а получение одного отсчёта, по которому можно судить о присутствии или от­сутствии на входе фильтра сигнала известной формы. Рассмотрим способ реализации согласованного фильтра, точно или приближённо согласован­ного с сигналом заданной формы.

В процессе практической реализации обычно выходят с того, чтобы облегчить работу решающей| схемы, а именно, чтобы сигнал хорошо различался на фоне помех.

Отклики на сигналы наблюдаются на выходе любых фильтров, и эти отклики, как правило, имеют многоэкстремальный характер. Однако существуют сигналы, которые на выходе согласованных фильтров формируют отклики в виде одного хорошо наблюдаемого выброса, а боковые лепестки у них или равномерные, или даже отрицательные. К таким относятся сигналы, которые закодированы кодами Баркера, Велти, m-последовательностями| и тому подобное. Известно ограниченное количество структур кодов Баркера, представленных в табл. 6.1.

Таблица 6.1. Структура кодов Баркера

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
3	+1	+1	-1
5	+1	+1	+1	-1	+1
7	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
11	+1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	-1
13	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	+1

Рис. 6.9. Структура цифрового согласованного фильтра| – оптимального приемника 7-элементного кода Баркера с согласованным цифровым фильтром: ЛЗ — линия задержки на 6; И — инвертор; РС — решающая схема

Структура цифрового согласованного фильтра| – оптимального приемника 7-элементного кода Баркера с согласованным цифровым фильтром представлена на рис. 6.9. Когда на вход линии задержки (ЛЗ) поступает какой-либо импульс, он, проходя через ЛЗ, дает отклики на каждом из 7 отводов, которые дальше поступают на общий сумматор . Обозначим их (+1) и (-1) противоположные фазы 7-элементного ФМ-сигнала| Баркера -1+1-1-1+1+1+1 для передачи «1» и +1 –1 +1 +1 –1 –1 –1 для передачи «0». Тогда каждый из последовательности этих семи ФМ-импульсов| на входе создаст 7 откликов, которые записаны в строках табл. 6.2 и табл. 6.3. Результат этого сложения, наблюдаемого на выходе , показан на рис. 6.10 и рис. 6.11, откуда видно, что последовательность, согласованная со структурой этого сигнала, дает отклик при передаче «1» и при передаче «0». Этот отклик по амплитуде в 7 раз превышает амплитуду одиночного импульса, который обеспечивает уверенное принятие решения о наличии или отсутствии полезного сигнала.

Таблица 6.2. Отклик для сигнала «1» –1 +1 –1 –1 +1 +1 +1

Отсчеты	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
№ отвода
1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	+1
2		+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
3			-1	-1	-1	+1	+1	-1	+1
4				-1	-1	-1	+1	+1	-1	+1
5					+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
6						+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
7							+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
Сумма	-1	0	-1	0	-1	0	+7	0	-1	0	-1	0	-1

Таблица 6.3. Отклик для сигнала «0» +1 –1 +1 +1 –1 –1 –1

Отсчеты	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
№ отвода
1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
2		-1	-1	-1	+1	+1	-1	+1
3			+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
4				+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
5					-1	-1	-1	+1	+1	-1	+1
6						-1	-1	-1	+1	+1	-1	+1
7							-1	-1	-1	+1	+1	-1	+1
Сумма	+1	0	+1	0	+1	0	-7	0	+1	0	+1	0	+1

В технике связи для фильтрации сигнала на фоне шума часто вместо согласованных ис­пользуют фильтры, характеристики которых лишь частично согласованы с характеристиками сигнала. Такие фильтры называют квазиоптимальными. Так, в практике радиоприёма исполь­зуются так называемые квазиоптимальные линейные фильтры, форма частотных характери­стик которых заранее задана и максимум параметра _пик обеспечивается лишь соответствую­щим подбором ширины полосы пропускания фильтра. Квазиоптимальный фильтр такого ти­па исследовался В.И. Сифоровым, который рассматривал прохождение одиночного радиоимпульса с прямоугольной огибающей через идеальный полосовой фильтр с полосой пропуска­ния f на фоне квазибелого шума. В.И. Сифоров показал, что при f= 1,37/Т_с отношение _пик достигает максимума:

_пик= 1.64h².

Доказано, что при приёме одиночного импульса энергетиче­ский выигрыш оптимального (согласованного) фильтра по сравнению с квазиоптимальным невелик (не превышает 1 дБ).

6.4. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИЕМА ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Известно, что при оценке работы системы связи необходимо, прежде всего, учесть, какую точность передачи сообщения обеспечивает система, и с какой скоростью пере­даётся информация. Первое определяет качество передачи, второе - количест­во. В реальной системе связи качество передачи зависит от степени искажений принятого сообщения. Эти искажения зависят от свойств и технического со­стояния системы, а также от интенсивности и характера помех. В правильно спроектированной и технически исправной системе связи необратимые иска­жения сообщений обусловлены лишь воздействием помех. В этом случае качест­во передачи полностью определяется помехоустойчивостью системы.

Под поме­хоустойчивостью обычно понимают способность системы противостоять вред­ному влиянию помех на передачу сообщений.

Так как действие помех прояв­ляется в том, что принятое сообщение отличается от переданного, то количест­венно помехоустойчивость при заданной помехе можно характеризовать степенью соответствия принятого сообщения переданному. Назовем эту величину общим термином - верность.

Верность передачи зависит от отношения средних мощностей сигнала и помехи (ОСП). При данной интен­сивности помехи вероятность ошибки тем меньше, чем сильнее различаются между собой сигналы, соответствующие разным сообщениям. Задача состоит в том, чтобы выбрать для передачи сигналы с большим различием. Наконец, верность передачи зависит и от способа приёма. Необходимо выбрать такой способ приёма, который наилучшим образом реализует различие между сигна­лами при данном отношении сигнала к помехе. Обратим внимание на сущест­венное различие между аналоговыми и дискретными системами передачи сообщений. В аналоговых системах всякое, даже сколь угодно малое мешающее воздействие на сигнал, вызывающее искажение модулируемого параметра, все­гда влечёт за собой внесение соответствующей погрешности в сообщение. По­этому абсолютно точное восстановление переданного сообщения невозможно. В дискретных системах ошибка при передаче сообщений возникает только то­гда, когда сигнал опознается неправильно, а это происходит лишь при иска­жениях, превышающих некоторый порог.

Как было сказано выше при выбранном критерии и заданном множестве сигналов, принимае­мых при аддитивном белом гауссовском шуме (БГШ), существует предельная (потенциальная) помехоустойчивость, которая ни при каком способе приёма не может быть превзойдена.

Определим потенциальную помехоустойчивость для двоичной системы с аддитивным БГШ в канале, когда при приёме точно известны оба ожидаемых сигнала: и , полагая, что априорные вероятности этих сигналов одина­ковы. Приходящий сигнал z(t) является случайным, так как, во-первых, зара­нее не известна реализация передаваемого сигнала, во-вторых, он содержит случайную помеху n(t).

Выражение (6.13) можно представить в виде

. (6.22)

При выполнении неравенства (6.22) оптимальный приёмник регистрирует символ 1, соответствующий сигналу .

В противном случае

(6.23)

регистрируется символ 0, со­ответствующий сигналу .

Если действительно передаётся символ 1, то .

Преобразуем выражение (6.22)

При этом вероятность ошибки определяется вероятностью того, что неравенство (4,22) не выполнено, т.е. вероятностью выполнения об­ратного неравенства

Произведем преобразования данного выражения

.

И получим

.

Обозначим разностный сигнал

;

и эквивалентную энергию

Тогда ошибочный прием произойдет, если

. (6.24)

Если передаётся символ 0, то .

Преобразуем выражение (6.23)

При этом вероятность ошибки определяется вероятностью того, что неравенство (4.23) не выполнено, т.е. вероятностью выполнения об­ратного неравенства

.

Произведем преобразования выражения для определения вероятности ошибки

,

.

Ошибочный прием в этом случае произойдет, если

. (6.25)

Запишем (6.24) в виде

, (6.26)

где - случайная величина.

Если n(t) — нормальный стационарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности N₀, то  - нормально распределённая величина (так как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом). Её математическое ожидание , а дисперсия

.

Поэтому вероятность выполнения неравенства (6.24), т.е. вероятность ошибки при передаче 1,

. (6.27)

Существует табулированная функция ошибок

,

где в данном случае .

Тогда через -функцию (6.27) можно записать в виде

.

Учитывая, что

. (6.28)

Вероятность выполнения неравенства (6.25), т.е. вероятность ошибки при передаче 0,

. (6.29)

Табулированная функция ошибок

,

Тогда через -функцию (6.29) можно записать в виде

=. (6.30)

Следовательно, в обоих случаях вероятности ошибки p(0|1)=p(l|0)= и сформированный модемом двоичный дискретный канал симметричен.

Вероятность ошибки так же можно выразить через эквивалентную мощность

. (6.31)

При заданной интенсивности помехи N₀ потенциальная помехоустойчи­вость двоичной системы зависит только от так называемой эквивалентной энергии сигналов

,

которая равна квадрату расстояния между сигнальными точками в пространстве Гильберта.

Таким образом, помехоустойчивость выше (вероятность ошибки меньше) у той системы, у которой больше эквивалентная энергия используемых сигналов, не­зависимо от формы используемых сигналов. Последние, в частности, могут быть как простыми (отрезками синусоиды с малой базой), так и сложными (шумоподобными, с большой базой).

Так как выражения (6.28) и (6.30) получены исходя из правила оптимального приема сигналов, то они определяют минимально возможную вероятность ошибки или потенциальную помехоустойчивость приема дискретных сообщений. Анализ показывает, что для уменьшения вероятности ошибки необходимо увеличивать расстояние между сигналами, уменьшать скорость передачи V=1/T_с (увеличивать период следования импульсов T_с) или уменьшать среднюю мощность помехи.

Рассмотрим частные случаи:

1. Сигналы и противоположны, то есть: .

В этом случае эквивалентная мощность достигает наибольшей величины (при равновероятных событиях):

.

А вероятность ошибки минимальна:

.

Примером противоположных сигналов являются сигналы фазовой манипуляции.

2. Сигналы и ортогональны, то есть:

.

В этом случае:

тогда вероятность ошибки

.

Примером ортогональной пары сигналов является сигнал частотной манипуляции.

3. Сигналы с пассивной паузой (амплитудная манипуляции ООК).

Здесь =0, поэтому , а вероятность ошибки:

.

В общем случае для всех сигналов можно записать, что вероятность ошибки определяется следующим выражением:

, где - отношение энергии сигнала к спектральной плотности мощности белого гаусовского шума, P₁ – мощность наиболее мощного из пары сигналов;  - коэффициент, значения которого лежат в интервале [0, ].

Таким образом, можно установить зависимость помехоустойчивости от выбора системы сигналов, от скорости передачи и параметров сигнала

Зависимости помехоустойчивости от выбора системы сигналов, скорости передачи и параметров сигнала показаны в табл.6.4.

Таблица 6.4.Зависимость помехоустойчивости от выбора системы сигналов, от скорости передачи и параметров сигнала

параметры вид манипуляции		h2
АM
ЧM	1		1-F(h)
ФM			1-F(h)
ОФM

Из полученных выражений видно, что по сравнению с двоичной АМ для двоичной ЧМ эквивалентная энергия сигнала в два раза больше, а для двоичной ФМ – в четыре раза больше.

Графики зависимости вероятности ошибки от отношения среднего значения мощности сигнала к мощности шума для различных видов манипуляции представлены на рис. 6.12.

Таким образом, помехоустойчивость приема дискретных сообщений зависит от двух факторов:

- превышения сигнала над помехой (энергетический фактор);

- угла между векторами сигналов (структурный фактор, зависящий от формы сигналa).

Для увеличения помехоустойчивости следует увеличивать как энергетику, так и угол между векторами. Энергетика может быть увеличена за счет увеличения мощности передатчика, снижения скорости передачи и снижения уровня помех, например, путем использования малошумящих усилителей, вплоть до криогенных. Угол между векторами может быть увеличен за счет выбора соответствующего вида модуляции.

Полученные выражения для потенциальной помехоустойчивости соответствуют условиям, при которых все параметры принимаемых сигналов (в том числе и их фазы) полностью известны. В этих условиях может быть использован когерентный метод приема, при котором возникновение ошибок обусловлено влиянием лишь одной составляющей напряжения помех (синфазной или противофазной с сигналом).

В реальных каналах связи вследствие замираний, многолучевого распространения (коротковолновая, тропосферная радиосвязь), нестабильности фазы колебаний, которые излучаются передатчиком, и других причин реализация когерентного приема встречает значительные технические трудности. Прием сигналов, когда для их различения не используется информация о фазе принимаемых колебаний, называется некогерентным. Очевидно, что последнему присуща более низкая помехоустойчивость, чем когерентному приему.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Какие критерии оптимального приема дискретных сообщений применяются в теории электрической связи?

2. Каким образом обеспечивается ре­шающей схемой критерий идеального наблюдателя?

3. В чем заключается критерий минимального среднего риска?

4. В чем состоит суть критерия Неймана-Пирсона?

5. Запишите алгоритм оптимально­го приёма В.А. Котельникова.

6. Составьте структурную схему для алгоритма оптимально­го приёма .

7. Запишите алгоритм оптимально­го приёма с использованием средних мощностей реализации сигнала на входе приемника.

8. Составьте структурную схему для алгоритма оптимально­го приёма .

9. Составьте структурную схему корреляционного приемника.

10. Составьте структурную схему приемника с согласованными фильтрами.

11. В системе связи передается двоичный сигнал : 1 или 0. На вход приемника поступает сигнал z, пораженный нормальным шумом. Нормальный шум имеет среднее значение равное 0 при передаче 0 и среднее значение равное n при передаче 1. Приемник принимает решение, что передавался 0, если процесс на входе приемника меньше 1 В; приемник принимает решение, что передавалась 1, если процесс на входе приемника больше 1 В.

Определить вероятность приема 0 при передаче 1 и вероятность приема 1 при передаче 0, дисперсия шума равна  ² =0,25 В².

12. В системе связи передается двоичный сигнал : 1 или 0. На вход приемника поступает сигнал, пораженный нормальным шумом. Нормальный шум имеет среднее значение равное 0 при передаче 0 и среднее значение равное 1В при передаче 1. Приемник принимает решение, что передавался 0, если процесс на входе приемника меньше 0,5В; приемник принимает решение, что передавалась 1, если процесс на входе приемника больше 0,5В.

Определить среднюю вероятность ошибки, если вероятность передачи 1 равна p(1)=0,6; а дисперсия шума равна  ² =0,25 В².

1 Начало этого отрезка для удобства совместим с началом координат. В принципе интервал анализа на приёме не всегда совпадает с тактовым интервалом Т_с (см. ниже). Сигналы на так­товом интервале часто будем называть элементом сигнала.

2 В математической теории связи это разбиение и называют решающей схемой. Заметим, что в некоторых случаях пользуются решающей схемой со стиранием, или отказом от решения. Это значит, что М областей не охватывают всего пространства сигналов и если приходящий сигнал не попадает ни в одну из этих областей, то принимается решение о стирании либо о невозможности определить передаваемый символ.

3 Такие системы часто называют системы с активной паузой. Двоичную систему, у которой один сигнал нулевой (нет излучения), называют системы с пассивной паузой.

180