7 Функціональна повнота наборів булевих функцій

7.1 Мета заняття

Ознайомлення c найважливішими замкненими класами булевих функцій (класами Поста), з поняттям повноти булевих функцій. Вивчення на практичних прикладах способів визначення типів булевих функцій і методу визначення функціональної повноти булевих функцій за допомогою теореми Поста.

7.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття необхідно повторити лекційний матеріал, розділи літератури [1-10] з таких питань: алгебра Жегалкіна, основні поняття; тотожності алгебри Жегалкіна; поліном Жегалкіна, методи його побудови і аналізу; визначення лінійності булевих функцій; типи булевих функцій; функції, що зберігають 0 і функції, що зберігають 1; монотонність булевих функцій, способи визначення монотонності булевих функцій; замкнення множини булевих функцій і замкнені класи; характеристика класів Поста; критерії повноти Поста; функціонально повна система функцій у слабкому розумінні; теорема Поста про функціональну повноту.

Підготовка і виконання практичного заняття проводиться за два етапи.

Перший етап пов’язаний з вивченням на практичних прикладах наступних основних понять і визначень: алгебра Жегалкіна; поліном Жегалкіна; довжина полінома Жегалкіна; ранг елементарної кон’юнкції; лінійна булева функція; функція, що зберігає 0; функція, що зберігає 1; монотонна булева функція; замкнення множини булевих функцій; замкнений клас; класи Поста; функціонально повна система функцій; функціонально повна система функцій у слабкому у слабкому розумінні; мінімально повний базис; нескоротна система булевих функцій.

При виконанні першого етапу практичного заняття студент повинен запропонувати і записати індивідуальний приклад для кожного з розглянутих вище понять і визначень.

Другий етап виконання практичного заняття пов’язаний з розв’язанням практичних завдань, які представлені у підрозділі 7.3, на основі запропонованих типових прикладів (див. підрозділ 7.4).

7.3 Контрольні запитання і завдання

7.3.1 Контрольні запитання

1. Перелічить основні типи булевих функцій.

2. Дайте визначення булевих функцій, що зберігають 0 і 1.

3. Яка кількість всіх булевих функцій змінних зберігає константу 0 і константу 1?

4. Яка функція називається монотонною булевою функцією?

5. Як, аналізуючи диз’юнктивну нормальну форму булевої функції, можна визначити, монотонна функція, чи ні?

6. Запишіть і поясніть структуру алгебри Жегалкіна.

7. Перелічить основні закони і тотожності алгебри Жегалкіна.

8. Дайте визначення поняттю поліному Жегалкіна.

9. Дайте визначення лінійності булевої функції.

10. Наведіть приклади лінійних і нелінійних функцій двох змінних.

11. Перелічить найважливіші замкнені класи булевих функцій.

12. Яка система булевих функцій називається функціонально повною?

13. Сформулюйте теорему про повноту двох систем булевих функцій.

14. Наведіть визначення функціональної повноти в слабкому розумінні.

15. Яка повна система булевих функцій є нескоротною.

16. Сформулюйте теорему Поста про повноту булевих функцій.

7.3.2 Контрольні завдання

Завдання 1. Визначити, чи зберігають 0 і 1 наступні булеві функції: а) ; б); в); г); д).

Завдання 2. Визначити кількість самодвоїстих функцій з числа всіх функцій змінних, деі.

Завдання 3. Визначити відношення порядку для інтерпретацій функції .

Завдання 4. Провести дослідження наступних функцій на монотонність: а) ; б); в); г), д), е).

Завдання 5. Довести монотонність наступних функцій:

а) ; б); в); г).

Завдання 6. Представити у вигляді полінома Жегалкіна наступні логічні функції: а) ; б); в).

Завдання 7.

Методом невизначених коефіцієнтів побудувати поліном Жегалкіна для наступних функцій: а) ; б); в), г).

Завдання 8. Провести дослідження на лінійність булевих функцій: а) ; б); в).

Завдання 9. Довести повноту таких систем функцій шляхом зведення їх до відомих повних класів: а) ; б); в).

Завдання 10. Перевірити на повноту такі класи функцій: а) ; б); в).

Завдання 11. За допомогою теореми Поста перевірити на повноту набори булевих функцій: а) , б), в), г).

7.4 Приклади аудиторних і домашніх завдань

Завдання 1. Визначити, чи зберігає 0 і 1 функція .

Розв’язок. Перевіримо значення даної булевої функції на нульовому й одиничному двійкових наборах: ;.

Отже, дана функція зберігає 1 і не зберігає 0.

Завдання 2. Визначити відношення порядку для інтерпретацій функції і функції.

Розв’язок. Для функції однієї змінної маємо два набори змінних: (0) і (1). Відношення часткового порядку встановлюється таким чином:. Тут усі пари порівнянні.

Для функції двох змінних маємо чотири набори змінних:, для яких відношення часткового порядку встановлюється так:. Розглянуті набори є порівнянними, а набориіне є порівнянними.

Завдання 3. Провести дослідження на монотонність функції .

Розв’язок. Для функції запишемо всі набори значень змінних, для яких виконується відношення порядку, визначимо значення функції на даних наборах і порівняємо їх:

Функція є монотонною.

Завдання 4. Провести дослідження на монотонність функції .

Розв’язок. Для функції запишемо всі набори значень змінних, для яких виконується відношення порядку, визначимо значення функції на даних наборах і порівняємо їх:

.

.

.

.

Функція не є монотонної, тому що прине виконується умова.

Завдання 5. Побудувати поліном Жегалкіна для функції .

Розв’язок. Побудуємо поліном Жегалкіна, скориставшись наступним методом: 1) побудуємо еквівалентну формулу, використовуючи операцію кон’юнкції і заперечення; 2) замінимо наі розкриємо дужки у формулі, користуючись законом дистрибутивності. Дійсно виконуються такі рівності,, звідки

,

Оскільки , то.

Завдання 6. Використовуючи метод невизначених коефіцієнтів побудувати поліном Жегалкіна для булевої функції трьох змінних, яка задається таким чином: .

Розв’язок. Поліном Жегалкіна для функції будемо шукати у вигляді:

, де .

Коефіцієнти визначаються із рівностідля довільного припустимого набору:

;

;

;

, тому ;;

, тому ;

, отже ;

Отже, і.

Звідси поліном буде мати вигляд .

Завдання 7. Провести дослідження на лінійність функції .

Розв’язок. Побудуємо поліном Жегалкіна функції , використовуючи такі тотожності:,.

.

Функція не є лінійною, оскільки її поліном Жегалкіна містить кон’юнкції змінних.

Завдання 8. Системи (штрих Шеффера) і(стрілка Пірса) функціонально повні. Довести повноту системі.

Розв’язок. Проведемо такі перетворення: ,

; . Томузводиться до, азводиться до.

Завдання 9. Перевірити на слабку функціональну повноту систему , що складається з однієї функції, яка задана таблицею істинності (табл. 7.1).

Таблиця 7.1 − Таблиця істинності функції

0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Розв’язок. Функція немонотонна, тому що.

Побудуємо її поліном Жегалкіна:

.

Поліном Жегалкіна містить кон’юнкцію змінних, отже, функція нелінійна і системає функціонально повною в слабкому розумінні.

Завдання 10. Довести функціональну повноту системи .

Розв’язок. Операцію заперечення можна представити поліномом Жегалкіна у вигляді , отже, функція заперечення лінійна. Функція заперечення є самодвоїстою, не зберігає 0, не зберігає 1 (це визначається з використанням таблиці істинності), немонотонна. Імплікація є нелінійною функцією, тому що її поліном Жегалкіна має вигляд, вона несамодвоїста, не зберігає 0, зберігає 1 (можна визначити з таблиці істинності функції), немонотонна. Отже, для кожного класу Поста в даній системі є хоча б одна функція, що цьому класу Поста не належить. За теоремою Поста така система булевих функцій є функціонально повною.