ТЕСТЫ по математике

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

Кафедра «Прикладная математика»

Е.П. Суляндзига, Г.А. Ушакова

ТЕСТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ:

ПРЕДЕЛ, ПРОИЗВОДНАЯ, ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ

Учебное пособие

Хабаровск Издательство ДВГУПС 2009

3

ВВЕДЕНИЕ

Всякое человеческое познание начинается с созерцаний, переходит от них к понятиям и заканчивается идеями.

И. Кант, “Критика чистого разума”

Предлагаемое учебное пособие можно рассматривать как сборник задач. Задачи охватывают традиционные темы – основы математического анализа: функцию, ее предел и производную. Присутствуют задачи по основам линейной алгебры и аналитической геометрии. Поскольку предел и производная функции являются более трудными, и кроме того, эти темы являются фундаментальными для интегрального исчисления, то им уделено наибольшее внимание: подробно разобраны решения типовых задач.

Теория пределов − это введение в теорию дифференцирования функции. Авторы надеются, что с помощью вербального аппарата им удалось рассказать о неопределенностях и правилах их раскрытия.

При нахождении производной сложной функции слишком трудно дается студентам установление порядка следования функций, образующих сложную функцию. Несомненно, этот материал надо увидеть в устном изложении преподавателя. Хочется верить, что при вдумчивом подходе читатель сможет самостоятельно разобраться и с дифференцированием сложной функции.

Собранный в учебном пособии материал неоднократно использовался на практических занятиях.

4

функций, а также произведение бесконечно малой функции на бесконечно большую функцию есть неопределенности. Названные

Надо заметить, что каждая из перечисленных неопределенностей

является отношение двух многочленов, т.е. рациональная функция. Исследуем отношение двух многочленов при условии, что аргумент x

становится и остается как угодно большим, т.е. x → ∞ . Заметим, что степень многочлена определяется старшей степенью переменной x . Приняты обозначения для многочленов степеней n и m соответственно:

Pn (x)= a0 + a1x + a2x2 + ...+ an−1xn−1 + anxn, Qm (x) = b0 + b1x + b2x2 + ...+ bm−1xm−1 + bmxm.

знаменателе соответственно, делаем вывод, что перед нами есть отношение двух бесконечно больших функций при условии, что аргумент x стремится к бесконечности. Это факт записывается

6

переменной x как max{2,3} = 3. Выполним операцию почленного деления многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, на x3. Будем иметь

Решение

Видим, что перед нами есть вновь отношение двух бесконечно больших функций при условии, что аргумент x стремится к бесконечности.

Анализируя степени многочленов P2 (x) и Q5 (x), замечаем, что наибольшей степенью переменной x является 5. Эту степень дает многочлен Q5 (x), и находится многочлен с более высокой степенью в знаменателе. Наивысшую степень 5 переменной x определили как max{2,5} = 5. Выполним операцию почленного деления многочленов P2 (x)

и Q5 (x), стоящих в числителе и знаменателе соответственно, на x5 . Получим

7

Решение

И в этом случае имеем отношение двух бесконечно больших функций при условии, что аргумент x стремится к бесконечности. В числителе и в

Здесь

8

Анализ решений приведенных примеров позволяет сделать вывод. Пусть в роли бесконечно больших функций выступают многочлены, их называют еще полиномами, а это возможно при стремлении аргумента x к

∞

бесконечности. Отношение таких функций есть неопределенность ∞ .

Если многочлен с наибольшей степенью находится в числителе, то в ответе получаем бесконечно большое число, которое как абстракцию обозначаем ∞.

Если же многочлен с наибольшей степенью находится в знаменателе, то в ответе имеем 0, как предел бесконечно малой величины (ранее отметили, что бесконечно малая величина есть величина, обратная бесконечно большой).

Если степени многочленов оказываются равными, то в пределе имеем отношение коэффициентов, стоящих при старших степенях многочленов. Заметим, что именно старшая степень переменной многочлена и определяет его степень.

Сформулированный выше вывод можно очень кратко представить

вматематической символике:

Сначала рассмотрим отношение многочленов, которые при условии, что переменная x стремится к некоторому наперед заданному числу a , обращаются в бесконечно малые величины,

9

Совершенно аналогично можно сказать, что многочлен Sm−1(x)степени m −1 есть частное от деления многочлена Qm (x) на линейный двучлен

(x − a). Если теперь посмотреть на поставленную задачу о нахождении предела и выполнить предложенные преобразования

можно сократить. Следует обратить внимание на то, что не нули сокращаем, а одинаковые бесконечно малые величины, поскольку x ≠ a, но x → a , и разность (x − a) является бесконечно малой величиной.

Отсюда следует вывод: если отношение многочленов при x → a

0

позволит избавиться от неопределенности , или, как говорят, раскрыть

0

ее.

1 Здесь рассматривается следствие теоремы Безу о делении многочлена f(x) на линейный двучлен (x-a): число а является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится без остатка на двучлен (x-a). Этьен Безу (Etienne Bezout, 1730 − 1783) − французский математик. Основные труды посвящены алгебре.

10

x2 − 5x + 6 и x2 − 2x обращаются в ноль при подстановке x = 2, то это означает, что каждое из уравнений x2 − 5x + 6 = 0 и x2 − 2x = 0 имеет своим

корнем x = 2. Следовательно, в выражениях x2 − 5x + 6 и x2 − 2x можно выделить разность (x − 2) как бесконечно малую величину при x → 2.

Решим уравнение x2 − 5x + 6 = 0. Найдем его корни: x = 2 и x = 3 (это видно из теоремы Виета2: 2+3=5, 2 3=6). Разложим квадратный трехчлен x2 − 5x + 6 на множители: x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Преобразование же выражения x2 − 2x : x2 − 2x = x(x − 2) очевидно. Видим, что и в числителе, и в знаменателе удалось выделить

получим при подстановке в оставшееся выражение предельного значения

выделить в числителе и знаменателе одинаковые множители, это будут при x → a бесконечно малые величины − либо (x − a), либо (a − x), и сократить эти бесконечно малые величины.

Правило раскрытия неопределенности вида ∞ − ∞

Пример 5. Найти lim x − 2 − x + 4 .

x→∞

Решение

Имеем разность двух бесконечно больших функций при условии, что аргумент x стремится к бесконечности. Этот факт записываем как

lim x − 2 − x + 4 = (∞ − ∞). x→∞

2 Виет (Вьет) Франсуа (Viete Francois) (1540 – 1603) – французский математик, по профессии – юрист. Интересовался астрономией и пришел через нее к тригонометрии и алгебре. Получил решение уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени в радикалах. Ввел впервые буквенные обозначения не только неизвестных величин, но и для данных – коэффициентов уравнений.

11

Выражение x − 2 + x + 4 называется сопряженным по отношению к

бесконечно больших величин есть бесконечно большая величина, т. е.

lim (x − 2 + x + 4)= ∞ + ∞ = ∞ . Интересен тот факт, что произведение

x→∞

двух взаимно сопряженных выражений позволяет избавиться от квадратных корней. Действительно, здесь используется одна из формул

сокращенного умножения: (a − b) (a + b) = a2 − b2. В нашем случае будем иметь

(x − 2 − x + 4)(x − 2 + x + 4)= (x − 2)− (x + 4) = x − 2 − x − 4 = −6 .

Выполним эквивалентные преобразования, суть дела не меняется, но внешний вид будет другим: умножим и числитель, и знаменатель на